圓柱形推拉式電磁鐵的電磁力數值算法

魯夢昆,張俊洪,易祥烈*,袁志方

(1.海軍工程大學電氣工程學院,武漢 430033; 2.湖北工程學院機械工程學院,孝感 432000)

推拉式電磁鐵是一種典型的電磁能與機械能能量轉換裝置,當給線圈中施加勵磁電流時,形成的電磁場將使線圈內部軟磁性材質的鐵芯磁化,在電磁力的作用下,鐵芯和推桿會對外輸出推力和直線運動。在一些需求短距離直線運動控制的領域,相比于旋轉電機及配套運動轉換裝置結合的方案,螺線管電磁鐵裝置在制造成本、體積、質量、響應速度等性能方面具有明顯優勢。鑒于這些特點,推拉式電磁鐵被廣泛應用于工業自動化領域,包括電磁閥、繼電器、電磁振動器等多種形式,在各種應用種準確的電磁力控制都是至關重要的[1-2]。

推拉式電磁鐵作為一項基礎應用技術一直以來都是中外科研工作者的重點研究方向[3]。近些年隨著工業科技的發展和對電能源應用的愈發重視,螺線管電磁鐵相繼出現了一些新的應用方式。其中包括文獻[4]中介紹的一種電磁鉚接機,主要功能是為大飛機的蒙皮外殼板材進行鉚釘鉚接;文獻[5]中介紹的一種電磁卷邊機;文獻[6]中分析了一種直線柱塞泵,液壓動力直接通過施加在活塞上的電磁力得到,而不是由旋轉動力轉換而來,更適用于小型、結構緊湊的工作環境;相比于化學能,電能在太空中具有可再生的優勢,是衛星運行的主要動力源,推拉式電磁鐵體積小的特點非常適合在太空中應用[7],如文獻[8]中介紹了一種小型衛星的太空對接方案,文獻[9]中提出了一種基于單線圈鐵芯螺線管的立方體納衛星微型電磁對接硬件重構設計方案。雖然推拉式電磁鐵應用廣泛,但因為鐵芯是活動的,電磁力、磁芯位置、電流等電磁數據之間存在強非線性關系,解析計算非常困難[10-11],在工程應用中的動態性能難以準確控制。

在推拉式電磁鐵電磁場計算模型的研究方面,無鐵芯的螺線管磁場容易根據Biot-Savart定律計算,而含鐵芯的螺線管線圈則計算過程較為復雜,成熟的理論成果較少,目前可用的方法包括半解析計算法和有限元法(finite element method,FEM)、其中半解析法包括集總參數磁路模型法和磁場子域方程法[12]。有限元法計算存在計算速度慢,變量之間對應關系不清晰的問題[13];集總參數磁路模型法主要用以計算磁場的平均值,而不是一個區域的詳細分布,因而計算準確度不高[14];文獻[15-16]中從理論層面解釋了子域磁矢量方程計算鐵芯螺線管的磁感應強度、電感、電磁力的過程。

基于子域磁矢量方程的數值算法相比于有限元法具有計算速度快、可程序化等優點,能完成一些有限元不能直接處理的計算任務?，F利用數值算法分析一種不帶鐵磁性外殼的推拉式電磁鐵,含特殊函數的磁矢量勢方程通過MATLAB編程計算數值解,在計算得到電感和電磁力后對比有限元仿真結果和實驗結果說明該方法的計算準確度。

1 電磁力數值算法建模

推拉式電磁鐵主要由勵磁線圈、軟磁性材質的鐵芯和彈簧組成。其中彈簧的作用主要是使鐵芯具有復位功能,彈簧力的方向與電磁力方向相反。當線圈中通以任意方向的勵磁電流時,鐵芯受到電磁力的作用并產生向線圈中心移動的趨勢。推拉式電磁鐵的結構圖如圖1所示。

圖1 推拉式電磁鐵的結構圖

由于鐵芯頂端的圓環結構不會進入線圈,距離線圈較遠,下方的推桿為滲碳無磁不銹鋼材質,因此可將推拉式電磁鐵的鐵芯和線圈視為標準圓柱體進行分析。

1.1 磁矢量勢方程

磁場子域磁矢量勢方程的數學模型中假設了鐵芯的磁導率無窮大,鐵芯上的磁力線均垂直于鐵芯表面[17],即鐵芯邊界處的磁感應強度切向分量為零。以鐵芯的中軸線為中心線建立柱狀旋轉坐標系,以求解域圓柱體的3個面為外部邊界條件,推拉式電磁鐵磁場子域劃分及各邊界條件如圖2所示。

z為螺線管的軸向方向;r為螺線管的徑向方向;R1為鐵芯半徑;R2為線圈內半徑;R3為線圈外半徑;R4為求解域半徑;Z1為線圈的左邊界;Z2為線圈的右邊界;Z3為鐵芯的左邊界;Z4為鐵芯的右邊界;Z5為求解域長度;AⅠ、AⅡ、AⅢ、AⅣ、AⅤ分別為5個區域的磁矢量勢

為了使求解結果更準確,各邊界應遠離線圈和鐵芯。由麥克斯韋方程可知

-?B=?2A=-μ0J

(1)

式(1)中:?為倒數算符;B為磁感應強度;A為磁矢量勢;μ0為空氣中的磁導率,取4π×10-7H/m;J為線圈中的電流密度。

注意磁場呈圓柱狀具有旋轉對稱性,磁矢量勢僅有周向θ方向的分量,其大小與r、z的坐標相關,可表示為

(2)

柱狀坐標系下螺線管磁感應強度的3個分量[17]分別為

(3)

聯立式(1)～式(3)得到磁矢量勢方程滿足

(4)

式(4)中:Aθ=A(r,z);電流密度J表示為與坐標點相關的函數J(r,z),以便區分電流密度為零的空氣區域。

利用分離變量法求解齊次微分方程,可得磁矢量勢的通解為

(5)

式(5)中:c1～c4為待定常數;I1為第一類一階虛宗量Bessel函數;K1為第二類一階虛宗量Bessel函數[18](也被稱為第二類一階修正的Bessel函數);n為級數解的諧波項數;αn為與級數相關的系數。

根據圓柱坐標系的磁矢量勢在外部邊界處I1和K1的斂散性可分別得到簡化后的各子區域磁矢量勢通解形式為

(6)

式(6)中:

(7)

根據線圈的電感儲能和磁矢量勢的關系,即

(8)

式(8)中:Lm為帶鐵芯的電感;I為線圈中的電流;V為導體的體積。

可推導出電感的計算式,設線圈中的電流均勻分布于線圈的矩形截面上,即電流密度為電流除以矩形截面的面積,推導出含鐵芯的電感為

(9)

式(9)中:

(10)

式(10)中:L為線圈長度;N為線圈匝數;F為超幾何函數。

由式(9)和式(10)可知,當線圈和鐵芯結構尺寸已知時,只要知曉鐵芯與線圈的相對位置和勵磁電流即可通過子域磁矢量勢方程求得對應的電感值。

1.2 電磁力方程

在得到電感曲線后,可通過電感梯度變化計算鐵芯受到的電磁力。使用虛擬位移法求解運動學過程,即

(11)

式(11)中:W為磁感應能;L(x)為與可動鐵芯位置x(t)有關的電感值;i(t)為線圈的勵磁電流。

鐵芯在線圈軸向上受到的電磁力為

(12)

實際上得到電磁力曲線的同時,也容易計算出鐵芯的加速度和速度,鐵芯的運動方程為

(13)

式(13)中:m為鐵芯的質量;x(0)為彈丸與線圈的初始相對位置。

由電磁力方程可知,在得到電感的情況下可計算鐵芯的運動狀態,因而可用于控制電磁閥閥芯[20]。不限制鐵芯的運動時,可將電磁鐵視為磁阻型電磁加速器,可根據電流和電感梯度的變化計算出鐵芯的運動過程,也能根據電感的變化逆向計算電流,形成電磁加速過程的動態閉環計算[21]。

2 數值計算模型的仿真驗證

為了驗證電感計算的準確性,構建如圖1所示的推拉式電磁鐵的ANSOFT/Maxwell有限元仿真模型,同時編寫MATLAB數值計算程序,電磁鐵的各結構參數如表1所示。

表1 圓柱形推拉式電磁鐵的建模參數

2.1 磁矢量勢對比分析

從圖1可知,推拉式電磁鐵鐵芯下移8.2 mm時,鐵芯和線圈的相對位置為-17.3 mm。根據式(6)使用MATLAB編程求解到各子域磁矢量勢方程的7個未知積分常數后,可繪制磁矢量勢分布圖。當給定線圈中的勵磁電流為4 A時,子域法計算的磁矢量勢分布圖與有限元結果對比如圖3所示,其中有限元中鐵芯的磁導率分別設置為電工軟鐵的B-H曲線和定值10 000進行仿真。

圖3 FEM與子域法計算的磁矢量勢的對比

當勵磁電流為4 A時,3個磁矢量勢峰值數據分別為3.608 8×10-3、3.585 6×10-3和3.599 4×10-3Wb/m,相差較小。實際上勵磁電流的大小與磁飽和程度必然相關,為了具體分析磁矢量勢的計算準確度,給線圈施加不同大小的勵磁電流,對比有限元的分析結果如圖4所示。

圖4 磁矢量勢峰值對比

由圖4可知,隨著電流的增加,有限元中磁導率設置為10 000時和子域法計算的磁矢量勢峰值基本相等,這對應了子域磁矢量勢方程建立時鐵芯磁導率為無窮大的假設,說明數值算法的計算結果非常近似地等于有限元中磁芯磁導率設置很大的情況。而當有限元中鐵芯材質設置為電工軟鐵計算的磁矢量勢峰值不會線性增加,而是按照B-H曲線的趨勢增加,磁芯磁飽和程度逐漸加大。由此可以判斷電磁鐵鐵芯下移8.2 mm時,想要子域磁矢量勢方程計算結果具有較準確的計算結果,線圈中的電流不宜超過6 A。

子域磁矢量勢方程計算較準確的電流閾值必然與鐵芯的位置相關,可在推拉式電磁鐵的鐵芯工作行程內確定,以便明確該數值算法能準確計算電磁力的使用條件。

2.2 電感對比分析

研究中可通過電感曲線計算電磁力曲線,直接分析不同勵磁電流情況下子域磁矢量勢方程計算電磁力的準確度。由于子域磁矢量勢方程中磁導率為無窮大時,電感不會隨勵磁電流變化,計算電感曲線全部重合。因此重點對比鐵芯工作行程內電工軟鐵材質鐵芯的電感曲線即可知曉電感計算準確度。鐵芯在線圈中心線上每移動0.5 mm取1個數據點,電感曲線對比如圖5所示。

圖5 不同勵磁電流時的等效電感曲線對比

由圖5可知,當電流為1～4 A時,無論鐵芯在任何位置,各電感曲線高度重合,可以推斷此階段鐵芯未發生磁飽和。當電流達到5 A時,僅當鐵芯中心在線圈中心的-10～10 mm區域內有所偏差,且鐵芯與線圈相對位置越近誤差越大。鐵芯在-17.3 mm 位置時,勵磁電流為6 A時磁芯發生了輕微的磁飽,但誤差只有2.085%,可以認為該電流值即為子域磁矢量勢方程計算推拉式電磁鐵電感較準確的閾值。

2.3 電磁力對比分析

得到電感曲線后可根據式(12)計算電磁力,與有限元中磁芯為電工軟鐵的仿真結果對比如圖6所示,由于有限元中默認z軸向上方向為正,所以鐵芯向下移動過程中電磁力為先負后正。

圖6 不同勵磁電流時的電磁力曲線對比

從圖6(b)中可以看出,數值算法計算的電磁力曲線呈波浪狀,這符合磁矢量勢方程諧波次數和函數的特征。推拉式電磁鐵鐵芯相對位置-17.3 mm時,有限元和子域法的電磁力對比及和相對誤差如圖7所示,為了方便與實驗中力傳感器受到的壓力作對比,電磁力以向下方向為正。

圖7 電磁力對比

由圖7可知,當電流為1～5 A時,數值算法計算的電磁力相比于考慮鐵芯材質B-H曲線的有限元結果相差不超過3%,當電流為6 A時的計算偏差約為5%,繼續增大電流將導致誤差迅速增加。

3 數值計算模型的實驗驗證

3.1 實驗平臺搭建

為了驗證磁場子域磁矢量勢方程數值算法計算推拉式電磁鐵電磁力的準確程度,搭建了如圖8所示的電磁力測試實驗平臺,在實驗過程中拆卸彈簧以剔除彈簧力的影響。為了獲得準確的測試效果,測試過程中應當確保鐵芯相對于線圈不會在電磁力作用下發生位移,力傳感器應當有足夠的安裝預緊力。在鋼質安裝架與螺線管之間裝夾木墊可盡量避免安裝架的鐵磁性對螺線管磁場產生影響。此研究中的實驗平臺布置為縱向,可有效減少摩擦力和磁芯偏心等問題給計算帶來的誤差,使分析更準確。為了避免力傳感器自身的重力和安裝預緊力對測試結果帶來誤差,測試前先對變送器調零,該操作也同時剔除了鐵芯的重力。

圖8 電磁力測試實驗平臺

3.2 數據對比分析

實驗過程中利用可調直流電源給線圈施加1～8 A不同大小的直流電(螺線管的額定工作電流約7.2 A),電流數據通過直流電流傳感器檢測,力傳感器檢測的電壓與力轉換比為10 N/V。示波器中采集到的電流和電磁力與有限元仿真和子域法計算結果對比如表2所示,其中有限元和MATLAB程序中的電流激勵按照實驗中實測電流給定。另外,圖9中顯示了勵磁電流分別為約為2.982 A和6.997 A兩種情況的示波器波形。

表2 仿真、計算及實驗獲得的電磁力對比

當電流較小時,傳感器等本身的誤差相對較大,因而不適合以該數據結果為標準分析基于子域磁矢量勢方程的半解析數值算法的誤差。有限元中分析模型則過于理想化,以實驗結果為標準分析誤差更合理。實驗中當電流為2～5 A時,數值算法計算誤差不超過3%,當電流約為6 A時誤差約為7.25%,隨著電流繼續增大數值算法的誤差迅速增加。因此判斷數值算法的適用電流閾值應不高于 5～6 A,在此條件下數值算法的計算結果具有可信度。

4 結論

推拉式電磁鐵具有結構簡單、制造成本低、體積小、響應速度快等優點,雖然其已被廣泛應用于各行各業,但由于磁場的非線性變化,解析計算困難,現階段的計算基本上都是靠有限元來處理。與有限元法相比,基于數學方程的半解析法具有計算過程清晰、可程序化、算法編輯靈活等優點,可實現一些有限元無法處理的計算,是理論與應用研究的發展趨勢。

研究了柱狀坐標系下的磁場子域方程,通過MATLAB編程實現了一種推拉式電磁鐵電磁特性數據的計算,包括磁矢量勢、電感和電磁力等。數值算法計算的結果與有限元中設置鐵芯磁導率為10 000時的結果高度重合,但當鐵芯線設置為電工軟鐵的B-H曲線時,隨著電流的加大鐵芯會發生磁飽和。當磁飽和問題不嚴重時,數值算法的計算結果具有高準確度,可等效于有限元法;隨著電流的增加,發生磁飽和后誤差迅速增加。在實際使用時,可對比空載情況下有限元計算的磁矢量勢或電感,提前獲取電流大小與誤差的變化規律,明確數值算法計算較準確的電流閾值,以此避免磁飽和導致計算誤差過大的問題。

經過研究,基于子域磁矢量勢方程的半解析數值算法的主要缺點包括:僅適用于標準圓柱狀的含鐵芯或空心螺線管;磁芯磁導率太低或發生磁飽和后計算準確度降低。在后續的研究中有必要研究可動鐵芯動態電流情況下磁飽和修正算法。