一種串并混聯機械手的運動學分析

趙 普,何 陽,汪序凱,吉起旺,王潤芝,趙裕明,馮海兵,李守軍

(宿遷學院 機電工程學院,江蘇 宿遷 223800)

0 引言

工業機器人是工業生產中的重要高端裝備,常用的為六自由度串聯機器人,多自由度串并混聯機械手作為通用工業機器人的補充,在上下料、農業采收等領域突顯其優勢,廣泛應用于機械制造、石油化工和農業采收等行業。目前,串聯機械手的研究理論已經較為成熟,制造工藝也較為先進,形成一種以企業研發制造為主體的成熟的發展模式[1-3]。近年來,串并混聯機械手逐漸引起了科研工作者和企業的重視,其研究和應用也在快速發展[4-7]。

一種串并混聯機械手[8]由大臂、中臂、小臂和末端執行器組成,并且在大臂、中臂及小臂中的平面雙菱形機構中均采用液壓驅動方式,以保證良好的承載性。本文利用D-H法對該機構進行位置分析。

1 機械手構型介紹

7自由度串并混聯機械手由機架、大臂、中臂、小臂和末端執行器組成,如圖1所示。大臂為并聯機構,其中兩個移動副P1、P2為驅動;中臂為平行四邊形機構,其中P3移動副為驅動;小臂為串并混聯機構,其中兩個移動副P4、P5和兩個轉動副R7、R19為驅動。

圖1 串并混聯機械手機構簡圖

設該機械手機構的主要幾何參數為:S11S12=l1,S21S22=l2,R1R2=l3,R10R11=l4,R9R12=l5,S11S21=2u1,PS12=PS22=u2,BC=u3,UA-S21C=u4,ER1=u5,EF=u6,FR3=u7,R2R3=u8,UP=u9,UD=d1,DF=d2,R4R5=d3,GR7=d4,R7R8=d5,R8R9=R8R10=e1,R8R11=R8R12=e2,R8R13=e3,R15R16=e4。

2 機械手位置正解分析

由圖1可知,該機械手的機構較為復雜,為了簡化計算,可以根據各關節運動特點將其等效為串聯機構,如圖2所示,其中RU1和RU2分別與圖1中U副的兩個轉動副,P45與圖1中P4和P5等效,R4和R5分別與平行四邊形R3R4R5R6中邊R4R5兩端的轉動副對應,且轉動副R4和R5的轉角之和時刻為零,其余運動副與圖1中對應。

2.1 坐標系建立

利用D-H法在每個關節處建立連桿坐標系,如圖2所示,與機架固定的坐標系為基坐標系{O0}(原點與虎克鉸中心重合),與連桿i固連的坐標系稱為坐標系{Oi}(i=1～7),坐標系{O0}與坐標系{O1}的原點重合,坐標系{O7}為與末端執行器固連的坐標系。

圖2 機械手等效機構

2.2 位置正解

根據D-H參數法,列出各連桿對應的連桿參數見表1,ai表示連桿長度,m;αi表示連桿扭角,(°);di表示相鄰連桿之間的距離,m;θi表示相鄰連桿之間的轉角,(°)。

表1 等效機構的連桿參數

續表1

基于上述連桿參數,利用D-H法建立各連桿之間的變化矩陣Ti(i=1～7)得

Ti=Rot(z,θi)Trans(ai,0,di)Rot(x,αi)

(1)

式中,s表示sin,c代表cos。

由此可得機械手末端坐標系{7}相對與基礎坐標系{0}的位姿變換矩陣為

(2)

機械手末端執行器的姿態用歐拉角表示,繞z軸轉角α,繞y軸轉角β,繞z軸轉角γ,則歐拉變換矩陣為

(3)

由于式(2)與式(3)相等,即可得到串并混聯機械手的姿態表達式。

2.3 位置反解

令式(2)與式(3)左右兩邊矩陣的(3,3)元素相等可得

(4)

由式(2)與式(3)相等可得

E(T5·T6·T7)-1=T1·T2·T3·T4

(5)

分別令式(5)左右兩邊矩陣的(1,4)、(2,4)和(3,4)元素相等,可解得θ1,θ3和l。

又由于R4R5為平行四邊形的一邊,則有關系

θ4=-θ3

(6)

再對式(3)進行變化,可得

(T1·T2·T3·T4)-1E(T6·T7)-1=T5

(7)

令式(7)左右兩邊矩陣的(1,1)元素相等,可解得θ5。

2.3.1 大臂位置反解

如圖1所示,建立固定坐標系{U}:U-x0y0z0,其中坐標原點與虎克鉸中心點U重合,z0軸與虎克鉸靠近基座的轉軸軸線重合,x0軸與虎克鉸遠離基座的轉軸軸線重合,y0軸的方向由右手定則確定;建立參考坐標系{P}:P-xcyczc,其中坐標原點P位于球副S12和S22連線的中點,x1軸的方向為沿球副S12和S22連線方向,z1軸的方向與z0軸方向相同,y1軸的方向由右手定則確定。

大臂的位置反解即為求解θ1和θ2與l1和l2之間的關系。參考坐標系{P}相對于定坐標系{U}為先繞z軸旋轉θ1,再繞x軸旋轉θ2所得,其旋轉矩陣可表示為

R=Rot(z,θ1)·Rot(x,θ2)

(8)

設球副S11和S21中心點在固定坐標系中的位置矢量為S11和S21,球副S12和S22中心點在參考坐標系中的位置矢量為S120和S220,均為已知量。由坐標變換可得球副S12和S22中心點在固定坐標系中的位置矢量為

S12=R·Si20+U,i=1,2

(9)

式中,U為虎克鉸中心點U在{U}坐標系中的位置矢量,為已知量。

根據大臂機構的幾何關系,得矢量方程為

li=Si2-Si1,i=1,2

(10)

式中,l1為大臂的兩個驅動桿長矢量。

2.3.2 中臂位置反解

設中臂的驅動桿長為l3。中臂的位置反解即為求解θ3或θ4與l3之間的關系。

由圖3可知,在三角形FR3R2中,有關系式

圖3 中臂機構示意圖

(11)

在三角形ER2F中,有關系式

(12)

在三角形ER1R2中,有關系式

(13)

聯立式(11)～式(13),即可求得l3。

2.3.3 小臂位置反解

由于小臂機構的轉動副R7和R19的轉角分別與等效機構中的θ5和θ7相同,可由式(4)和式(7)獲得。因此小臂的位置反解主要為求解θ6和l與l4和l5之間的關系。如圖4所示為小臂機構的示意圖。

圖4 小臂機構示意圖

由圖4中各桿件長度有如下關系

(14)

如圖4所示,在ΔR8R10R11和ΔR8R9R12中,已知R8R9、R8R10、R8R11、R8R12和φ1、φ2,l4和l5可以通過余弦定理解得。

3 結論

本文針對一種7自由度串并混聯機械手,采用部分機構等效簡化的方法,對機械手原型機構進行了運動學分析,得到了機械手的位置正反解。該機械手采用外伸懸臂結構,且具有7個獨立的自由度,在合理設置驅動的前提下其工作空間較大、末端靈活性較好。基于上述特點該機械手特別適合作為工業上下料機械手或農業采摘機械手。本文的研究為該機械手的進一步研究奠定了基礎。