艦船發電系統多狀態可靠性馬爾可夫報酬模型

陳童, 胡斌, 狄鵬

(海軍工程大學 管理工程與裝備經濟系, 湖北 武漢 430033)

0 引言

為有效滿足艦船在不同任務階段的平穩用電需求,發電系統通常采用冷儲備或溫儲備冗余結構提升系統可靠性。因此,艦用發電系統一般包含多臺相同或不同型號的發電機組,而每臺機組隨著使用時間、強度和外部環境的變化會出現性能的逐步退化。這就要求發電系統必須根據用電需求和在網機組實際性能狀態,不斷調整并網機組數量,合理分配單機負荷,才能保證整個系統實時響應全艦用電需求變化,保持輸出功率穩定。這樣,整個發電系統隨著單機組性能狀態和并網機組數量的變化,會表現出多個不同的功率輸出水平,即多種性能狀態。

在分析這類具有多種性能狀態的裝備可靠性規律時,如果將整個系統的狀態簡單分為運行和故障兩大類,則會出現發電系統雖然不能滿功率運行,但仍可以有效滿足各種任務用電需求的情況,這就說明兩狀態可靠性模型難以準確反映艦船發電系統的實際可靠性規律[1]。因此,多狀態系統可靠性理論被用于分析這類裝備可靠性問題[2-4],如在各種冗余結構的復雜系統[5-6]、供應鏈網絡[7]、轉動部件[8-9]、電力系統[10-11]等諸多領域。

許多學者利用解析或仿真建模方法對發電系統中的多狀態系統可靠性問題展開了研究。如文獻[12]采用多狀態決策圖方法研究了溫儲備條件下的多狀態發電機組和負載分配設備組成的電力系統可靠性問題。Lisnianski等[13]利用Lz變換方法研究了由多個發電機組組成的多狀態發電系統短期可靠性問題。Kim等[14]采用統計分析方法研究了在軌航天器發電系統的多狀態失效問題。Liu等[15]研究了配電系統中柔性多狀態開關可靠性評估的蒙特卡洛仿真方法。這些研究表明電力系統的可靠性分析和評估工作必須考慮冗余結構類型、設備使用方式、維修策略等諸多因素對系統效能的影響,存在建模分析難度大,模型重用性差等問題。

因此,馬爾可夫報酬模型被引入到多狀態系統可靠性解析建模工作中。通過對系統性能狀態轉移過程賦予多樣的報酬矩陣,有效拓展了馬爾可夫隨機建模方法在復雜裝備系統可靠性分析工作中的應用,提升了建模靈活性,也降低了解析建模難度[16]。如Dhople等[17]利用馬爾可夫報酬模型研究了隨機混合系統的可靠性建模問題。Temraz[18]采用模糊非齊次馬爾可夫報酬模型對具有多種失效模式的并聯退化系統的可靠性問題進行了研究。文獻[19]利用馬爾可夫報酬模型研究了系統可靠性——費用優化設計方法。劉宇[20]提出了模糊馬爾可夫報酬模型用來評估模糊多狀態元件的累積性能。

此外,在分析艦船裝備可靠性問題時,不能忽視艦船在整個壽命周期內設計有多次計劃維修活動的特點。通過合理安排計劃維修和日常故障維修內容,可以確保發電系統這類主要裝備在計劃維修間隔期內能夠保持令人滿意的可靠性水平。因此,在艦船系統可靠性設計、設備選型、維修方案設計等工作中,可以通過規定系統可用度、停機次數、工作時間等指標約束,從而明確系統平均故障間隔時間、平均修復時間、規定時間內無故障概率等相關參數,體現了可靠性設計對維修性、保障性設計工作的牽引作用。

綜上,本文根據艦船發電系統實際使用特點,分析了系統在冷儲備條件下的多性能水平特征,考慮艦船計劃維修間隔時間設置對系統可靠性參數的影響,采用馬爾可夫報酬模型構建了系統狀態轉移矩陣、報酬矩陣、報酬函數和系統需求滿足函數,通過對報酬矩陣元素的合理賦值,獲得了系統區間可用度、平均可工作時間、平均停機時間、平均故障次數、計劃維修間隔期內的系統可靠度等可靠性參數,并通過算例驗證了模型的有效性和適用性。

1 艦船發電系統描述與模型假設

艦船發電系統通常由若干臺主發電機組和備用機組組成。主發電機組一般選用同型裝備,而備用機組可以選用與主發電機組相同或不同型號。

當全船處于低負荷需求時,只需運行部分主發電機組,其余主機組和備用機組則處于備份狀態;當處于高負荷需求時,所有主機組均投入運行,此時只有備用機組處于備份狀態。

工作機組由于發生故障或性能下降而無法正常工作時,需要停機進行維修,此時備份機組被迅速啟用。

本文以常見的艦船發電系統為例。該系統包含2臺主發電機組和2臺備用機組。整個系統在低負荷時通常只需1臺機組正常工作,在高負荷時2臺機組即可滿足全船用電需求。可以進一步做出以下假設:

1)主發電機組和備用機組在運行時的故障時間服從指數分布,故障率分別為λM和λS;未運行機組處于冷儲備狀態,故障率忽略不計;

2)當運行機組出現故障后,備份機組轉換運行狀態,轉換時間忽略不計;故障機組立刻接受維修;

3)主機組和備用機組的修復時間服從指數分布,修復率分別為μM、μS;

4)每個工作周期T內,全船高負荷需求P平均時長為TP,則低負荷需求L平均時長為TL=T-TP。

2 模型狀態分析

隨著發電系統內各機組實際狀態的變化,整個系統的性能是由完好機組數量決定的,因此性能狀態集可以表示為G(t)={0,1,2,3,4},其中:水平0表示系統內所有機組均故障;水平1表示系統內只有1臺完好機組,發電系統僅能滿足需求L;水平2、3、4表示系統中至少有2臺機組(包括主機組和備用機組)完好,可以滿足需求P。

2.1 系統狀態空間劃分

系統狀態可以分為18個,如圖1所示。其中,狀態1～狀態9對應電力高負荷需求,狀態10～狀態18對應電力低負荷需求。圖1中,γPL和γLP分別為高負荷向低負荷需求和低負荷向高負荷需求轉換時系統狀態的轉換率。

當系統處于狀態1和狀態10時,系統內2臺主機組和2臺備用機組均處于完好狀態,此時的系統性能水平為G1(t)=G10(t)=4。

圖1 艦船發電系統狀態轉移圖Fig.1 State-transitions diagram of ship power generation system

當系統處于狀態2和狀態11時,系統內1臺主機組和2臺備用機組處于完好狀態,此時系統性能水平為G2(t)=G11(t)=3。

當系統處于狀態3和狀態12時,系統內2臺主機組和1臺備用機組處于完好狀態,此時系統性能水平為G3(t)=G12(t)=3。

當系統處于狀態4和狀態13時,系統內只有 2臺備用機組處于完好狀態,此時系統性能水平為G4(t)=G13(t)=2。

當系統處于狀態5和狀態14時,系統內1臺主機組和1臺備用機組處于完好狀態,此時系統性能水平為G5(t)=G14(t)=2。當系統處于狀態6和15時,系統內只有2臺主機組處于完好狀態,此時系統性能水平為G6(t)=G15(t)=2。

當系統處于狀態7和狀態16時,系統內只有 1臺備用機組處于完好狀態,此時系統性能水平為G7(t)=G16(t)=1。

當系統處于狀態8和狀態17時,系統內只有 1臺主機組處于完好狀態,此時系統性能水平為G8(t)=G17(t)=1。

當系統處于狀態9和狀態18時,系統內所有機組均處于故障狀態,此時系統性能水平為G9(t)=G18(t)=0。

由此可知,在狀態7、狀態8、狀態9、狀態18時,發電系統性能是無法滿足全船電力需求的,此時可以認為系統處于故障狀態(圖1中標注為灰色),而其余狀態可以認為是系統的運行狀態。因此可以將系統狀態劃分為運行狀態集ΩO∈{1,…,6,10,…,17}和故障狀態集ΩF∈{7,8,9,18}。

2.2 系統狀態的轉換

圖1中的系統狀態轉換可以分為如下3類:

1)從所有機組完好(狀態1、10)逐步向全部故障(狀態9、18)的轉換。這類轉換中只需考慮正在運行的機組的失效率。如狀態2向狀態5的轉換,說明此時只有1臺備用機組在運行,因此狀態轉換率就為該備用機組的失效率λS。

2)從全部故障(狀態9、18)逐步向所有機組完好(狀態1、10)的轉換。根據假設條件知故障機組均及時得到維修,因此轉換率取決于故障機組的數量。如狀態7向狀態5的轉換率是兩臺主機組的修復率,即2μM。

3)高負荷與低負荷需求的相互轉換。當用電需求發生變化時,就產生了高負荷與低負荷需求之間的相互轉換,系統狀態(如狀態1和狀態10的轉換)的相互轉換率分別為γPL=1/TP、γLP=1/TL。

2.3 系統狀態轉移矩陣

根據馬爾可夫轉移過程,系統的狀態轉移矩陣[2]可以表示為

(1)

式中:QPP表示高負荷需求時的狀態轉換;QLL表示低負荷需求時的狀態轉換;QPL表示高負荷向低負荷變化時的狀態轉換;QPP表示高負荷需求情況的狀態轉換。因此有

QPP=

QLL=

式中:C1=2λM+γPL;C2=λM+λS+μM+γPL;C3=2λM+μS+γPL;C4=2λS+2μM+γPL;C5=λM+λS+μM+μS+γPL;C6=2λM+2μS+γPL;C7=λS+2μM+μM+γPL;C8=λM+μM+2μS+γPL;C9=2μM+2μS+γPL;C10=2λM+γLP;C11=λM+λS+μM+γLP;C12=2λM+μS+γLP;C13=2λS+2μM+γLP;C14=λM+λS+μM+μS+γLP;C15=2λM+2μS+γLP;C16=λS+2μM+μS+γLP;C17=λM+μM+2μS+γLP;C18=2μM+2μS+γLP。

3 系統馬爾可夫報酬模型

在構造發電系統的馬爾可夫報酬矩陣和效能需求函數后,通過改變系統報酬矩陣的賦值,可以方便地獲得該系統的各可靠性參數。

3.1 系統馬爾可夫報酬矩陣的構造

針對2.3節構造的連續時間馬爾可夫過程,其狀態集可以表示為S={1,…,K},本文中K=18。

將式(1)的系統狀態轉移矩陣寫為Q=[qij],i,j=1,…,K,qij表示從狀態i到狀態j的轉移率。

假設系統停留在狀態i的每個單位時間的報酬為rii,系統每次從狀態i到狀態j的報酬為rij。這里的報酬表示消耗或增收了包括費用在內的各類資源。因此當報酬取負值時表示資源的消耗,報酬取正值時則表示資源的增收,則可以構造出如式(2)報酬矩陣[18]:

R=[rij]

(2)

因此,過程{Q(t),R(t)}就是一個考慮報酬的馬爾可夫過程[21]。

3.2 系統報酬函數

如果系統在初始時刻t=0 h處于狀態i,令Vi(t)表示在時刻t時的平均總報酬。

系統經過時長Δt后,有兩種可能的狀態:

1)仍處于狀態i。此時有Vi(Δt)=riiΔt。

若在隨后的區間[0 h,Δt+t],系統仍停留在狀態i,則有

Vi(Δt+t)=riiΔt+Vi(t)

(3)

可知系統在時長Δt停留在狀態i的概率為

(4)

2)轉入了狀態j。可知有πij(0,Δt)=qijΔt,此時Vi(Δt)=rij。而在區間[Δt,Δt+t],系統將從狀態j開始向其他狀態轉移,在時長t的平均總報酬則為Vj(t)。因此,在[0,Δt+t]區間有

Vi(Δt+t)=rij+Vj(t)

(5)

根據式(3)～式(5)可知:若Δt→0,則有

(6)

將式(6)表示為極限形式,有

(7)

同時,在時刻t=0 h,有如下邊界條件:

Vi(0)=0

(8)

利用Laplace-Stieltjes變換可以對方程組式(7)、式(8)求解。

3.3 系統需求滿足函數

在分析圖1的系統狀態轉移過程時,可以發現全船的電力需求量變化過程D(t)和發電系統性能水平變化過程G(t)一樣,都是馬爾可夫鏈。D(t)的狀態轉移矩陣可以表示為

(9)

顯然,G(t)和D(t)兩個隨機過程相互獨立,可以構建系統需求滿足函數,形式為

S(G(t),D(t))=G(t)-D(t)

(10)

因此,只有在S(G(t),D(t))≥0時,發電系統才處于能夠滿足全船用電需求的狀態。

3.4 系統可靠性參數

令系統在t=0 h時刻的初始狀態為i,可以分別給出如下系統可靠性參數:

1)系統區間可用度Ai(t)。根據區間可用度[22]的概念,可以令Ai(t)表示系統在[0 h,t]內能夠滿足用電需求的平均時間與時長t的比值。因此,可以按照如下規則定義報酬矩陣中的元素rij:

系統停留在狀態l(l=1,…,K)時,若S(G(t),D(t))≥0,則rll=1;若S(G(t),D(t))<0,則rll=0;系統狀態之間轉換時的報酬均為0。

此時報酬函數Vi(t)表示的就是初始狀態為i時,發電系統在[0 h,t]停留在可接受狀態的平均總時長。因此有

(11)

2)系統平均可工作時間MOTi(t)。計算MOTi(t)時,只需計算系統在[0 h,t]停留在運行狀態集ΩO的時間。因此可以參照計算Ai(t)構造報酬矩陣中的元素rij,此時有

MOTi(t)=Vi(t)

(12)

3)系統平均停機時間MDTi(t)。系統平均停機時間就是系統無法滿足全船用電需求的平均時間,即系統處于故障狀態集ΩF的平均時間。因此,可以按照如下規則定義報酬矩陣中的元素rij:

系統停留在狀態l(l=1,…,K)時,若S(G(t),D(t))≥0,則rll=0;若S(G(t),D(t))<0,則rll=1;系統狀態之間轉換時的報酬均為0。

此時報酬函數Vi(t)表示的就是初始狀態為i時,發電系統在[0,t]停留在故障狀態的平均總時長,因此有

MDTi(t)=Vi(t)

(13)

4)系統平均故障次數Ni(t)。Ni(t)為系統在[0 h,t]進入故障狀態的平均次數。因此,可以按照如下規則定義報酬矩陣中的元素rij:

每次系統從運行狀態集ΩO向故障狀態集ΩF轉移時,有rij=1,其余rij均為0。

因此有

Ni(t)=Vi(t)

(14)

對報酬矩陣中的元素rij進行定義:

系統從ΩO向ΩF轉移過程的報酬rij=1,其余rij均為0。

此時報酬函數Vi(t)表示初始狀態為i時,整個發電系統在t時刻進入故障狀態的概率,因此有

Rei(t)=1-Vi(t)

(15)

4 算例分析

根據對艦船發電系統使用數據的統計分析,可以令:λM=15次/a,λS=5次/a;μM=μS=150次/a;TP=2 555 h/a,TL=6 205 h/a。

本算例以完好狀態1作為系統初始狀態,根據3.4節結論分別構建報酬矩陣R,代入方程組式(7),利用數學分析軟件求解微分方程,可以方便地得出系統各個可靠性參數:

1)系統區間可用度Ai(t)。在給定上述發電機組單機故障率、修復率等參數的情況下,可以非常方便的計算出整個發電系統在一段時間的區間可用度Ai(t)。圖2顯示了在一個艦船計劃維修間隔期(3a)內Ai(t)隨系統工作時間的變化情況。由圖2可以看出,系統區間可用度在整個計劃維修間隔期內,均維持在一個較高水平上。

圖2 系統工作時間t與系統區間可用度Ai(t)的關系Fig.2 Relationship between the system online time t and the system interval availability Ai(t)

在裝備結構設計或設備選型等工作中,可以先給定系統在整個計劃維修間隔期的可用度指標約束,然后利用本模型確定發電機組單機故障率、平均修復時間等指標,從而滿足整個發電系統的可靠性設計要求。圖3就展示了在一個計劃維修間隔期內,發電機組單機平均修復時間與整個系統區間可用度指標的關系。例如要確保系統在計劃維修間隔期的可用度維持在0.997以上時,必須要求單機組平均修復時間大致不能超出4.5 d,這就對裝備維修能力提出了明確約束。

圖3 單機組平均修復時間對系統區間可用度 Ai(t)的影響Fig.3 Influence of mean time to repair of single unit on the system interval availability Ai(t)

2)系統平均可工作時間MOTi(t)和系統平均停機時間MDTi(t)。圖4、圖5分別展示了在一個艦船計劃維修間隔期內系統的平均可工作時間和停機時間,可以看出在當前的故障率及修復率條件下,MOTi(t)和MDTi(t)與系統工作時間呈近似線性關系,且MDTi(t)相對整個計劃維修間隔期是非常小的(在3a的工作時間內,系統平均停機時間在3.5 h左右),說明發電系統在整個計劃維修間隔期內是可以有效滿足全船用電需求。

圖4 系統工作時間t與系統平均可工作 時間MOTi(t)的關系Fig.4 Relationship between system online time t and mean operational time MOTi(t)

圖5 系統工作時間t與系統平均停機時間 MDTi(t)的關系Fig.5 Relationship between system online time t and mean down time MDTi(t)

3)系統平均故障次數Ni(t)。圖6展示了在一個計劃維修間隔期內發電系統的平均故障情況。可以發現Ni(t)與系統工作時間呈近似線性關系,且整個發電系統在3a內出現崩潰的可能性比較小,這一點與圖5顯示的情況吻合。

圖6 系統工作時間t與系統平均故障次數Ni(t)的關系Fig.6 Relationship between system online time t and mean number of system failures Ni(t)

4)計劃維修間隔期內的系統可靠度Rei(t)。圖7顯示當μM=μS=150次/a時,單機組平均修復時間在2.4 d左右,此時Rei(t)在計劃維修間隔期末段(第2a～第3a)的可靠度在0.8附近,處于一個偏低水平,會對全船的正常使用帶來明顯影響。

圖7 系統工作時間t與系統可靠度Rei(t)的關系 (μM=μS=150次/a)Fig.7 Relationship between the system online time t and system reliability Rei(t) (μM=μS=150 times per year)

為了確保系統在整個計劃維修間隔期的可靠度水平,提升維修效率是一個非常直接的辦法。因此,當單機組修復率μM和μS均提升至500次/a,即單機組平均修復時間降到了0.7 d左右時,在整個計劃維修間隔期內的Rei(t)均處在一個較高水平,如圖8所示。

圖8 系統工作時間t與系統可靠度Rei(t)的關系 (μM=μS=500次/a)Fig.8 Relationship between system online time t and system reliability Rei(t) (μM=μS=500 times per year)

圖9顯示了若將計劃維修間隔期縮短為1 a時,單機組平均修復時間(或單機組修復率)對系統可靠度的影響。由圖9可以看出,為了確保發電系統能夠在整個計劃維修間隔期維持在設計指標(如0.95)以上,單機組平均修復時間必須限制在2.0 d以內。圖10則顯示了計劃維修間隔期為3a時,單機組平均修復時間對系統可靠度的影響。此時,只有將單機組平均修復時間限制在1.15 d以內時,才能有效保證整個發電系統可靠度維持在0.95以上。

圖9 單機組平均修復時間對系統可靠度Rei(1)的影響Fig.9 The influence of mean time to repair of single unit on the system reliability Rei(1)

圖10 單機組平均修復時間對系統可靠度Rei(3)的影響Fig.10 Influence of mean time to repair of single unit on the system reliability Rei(3)

由圖9、圖10的對比說明:在給定系統可靠度指標約束后,縮短計劃維修間隔期可以降低對單機組平均修復時間的要求,這樣就可以適當減少日常維修資源的投入,這與艦船裝備使用維護的直觀經驗是吻合的。但也必須認識到這樣做同時會造成計劃修理資源消耗的增加。因此需要對艦船計劃修理和日常故障修理兩類維修活動科學統籌、合理分配,才能在確保系統可靠性指標的同時,充分發揮維修資源效能。

通過上述建模過程和算例可以發現,利用馬爾可夫報酬模型進行艦船發電系統多狀態可靠性建模時,能夠通過對報酬矩陣R中元素rij的靈活賦值,方便高效地得到了多種系統可靠性參數的解析表達式,建模過程標準,模型重用性強,為分析發電系統計劃維修間隔期設置對系統可靠性變化規律的影響提供了建模工具,為合理安排艦船裝備維修結構提供了技術支持,顯然為艦船裝備可靠性設計等工作帶來了極大便利。

5 結論

本文針對艦船發電系統使用與維修工作特點,利用馬爾可夫報酬模型研究了冷儲備結構的多狀態系統可靠性規律,在保證良好解析特性的同時,通過設計靈活的報酬矩陣,方便地得出了系統區間可用度等可靠性參數,并通過算例討論了計劃維修間隔時間和單機組平均修復時間等指標對系統可靠性的影響。研究過程顯示出馬爾可夫報酬模型在復雜多狀態系統可靠性建模和計算方面的便捷性和靈活性。因此,在今后的研究工作中,可以嘗試采用類似研究思路分析復雜系統多狀態可靠性建模問題。