教材探源 感悟思想 積累經驗*
——一道函數零點問題的尋根之旅

北京師范大學淮安學校 (223001) 楊興剛

判斷函數零點個數和已知零點個數求參數范圍是高考的常考題型.試題多數基于數學情境命制,考查學生靈活運用函數、導數等知識解決問題的能力,全面綜合展現極限思想、估算思想的應用和學生的數學素養水平.判斷函數零點是否存在不僅要借助函數增長差異的“形”去判斷,而且要借助放縮估算的“數”去證明.本文以一道模擬試題為例,通過挖掘教材找根源、一題多解悟方法、反思提升育素養三個維度,探索函數零點問題的尋根之旅.

試題根據核心素養的三個水平設計問題,第(1)問通過指數函數考查學生利用導數研究函數單調性的通性通法,屬于水平一的要求;第(2)問(ⅰ)由函數零點個數求參數范圍考查學生解決一類問題的數學方法,屬于水平二的要求; 第(2)(ⅱ)問以不等式放縮和極值點偏移為背景考查學生創造性解決問題的能力,屬于水平三的要求,具有很好的區分度.本文重點探索第(2)問(ⅰ)的思維歷程,呈現函數零點問題的尋根之旅.

1 教材探源,深化理解

教材中的內容、例題、習題、旁白等都是高考命題的素材,對教材深度理解與挖掘運用是培養學生數學核心素養的根本.教材探源是回歸基礎、提升能力、發展素養的必經之路.

1.1 直觀感受函數變化差異

人教版必修第一冊P136第4.4.3節借助信息技術討論了不同函數:指數函數y=ax(a>1)、一次函數y=kx(k>0)和對數函數y=logax(a>1)圖象的增長差異,讓學生初步理解“對數增長”、“直線上升”、“指數爆炸”的含義.高一的教學要求主要是讓學生直觀地感受不同函數的增長差異,不給出嚴格的證明.在教學過程中,教師可以讓學生觀察三個函數圖象的交點個數,為下節函數零點做好鋪墊.

1.2 導數研究函數變化快慢

人教版教材選擇性必修第二冊P88探究和P89例4,借助導數絕對值的大小,比較了兩個函數圖象變化的快慢.在教學過程中,教師要借助導數精細研究函數圖象的“陡峭”與“平緩”程度,為估算函數值的大小奠定基礎.

1.3 泰勒展式估算逼近

人教版教材必修第一冊P256拓展探索T26和蘇教版教材必修第一冊P209閱讀題T20均介紹了計算器如何確保計算結果的精確性問題.材料介紹了計算器的工作原理,體會泰勒展式中多項式函數逼近指數函數的估算思想,激發學生深入學習的興趣,激勵學有余力的學生去查閱文獻資料,攀登更加美妙的數學大廈.

2 解題探索,感悟思想

通過對問題的多角度思考、分析與對比,不僅可以加深對基礎知識、基本技能的理解,而且可以感受基本思想方法的內涵,加深基本經驗的積累,促進數學核心素養的發展.

2.1 極限思想下的解法

評注：上述分離參數法,強調了指數式可以通過兩邊取對數實現參數分離,借助函數變化差異和極限思想輔助說明圖象函數的焦點個數,體現了數形結合的直觀表達.

2.2 估算解法

評注：本解法很好的回避了極限思想的應用,更加貼合高中教學實際和高考函數零點問題的標準解答,并且給出了如何利用切線不等式構造二次函數探索零點區間值的取法問題.

3 反思積累經驗

數學高階思維是數學核心素養的重要組成部分.高階思維是個體適應環境、尋找認知平衡的關鍵能力.[2]對復雜情境的問題的解決,不僅需要學生自己有扎實的基本活動經驗積累,而且需要學生之間的展示與交流、質疑與表達.學生要積極參與數學活動,在問題的分析與解決過程中,碰撞出新的思維火花,在批判質疑的交流活動中,理解數學知識本質,深化數學方法理解,搭建拾級而上的思維橋梁,感悟數學思想方法的魅力.