巧思維切入,妙視角變式
——以一道2023年高考題為例

江蘇省西亭高級中學(xué) (226371) 羌 麗

函數(shù)及其綜合應(yīng)用問題一直是歷年高考中的一個重點(diǎn)考查對象,如函數(shù)的概念與圖象,基本性質(zhì)(單調(diào)性,奇偶性、周期性、對稱性等),函數(shù)的零點(diǎn)及其應(yīng)用等,呈現(xiàn)方式可以是選擇題或填空題,難度可以是簡答題型,也可以結(jié)合奇偶性,周期性,對稱性等綜合考查,難度中等,或者考查函數(shù)的零點(diǎn)等相關(guān)問題,結(jié)合函數(shù)的圖象,運(yùn)用數(shù)形結(jié)合,難度一般比較大.

1.真題呈現(xiàn)

(2023年新高考Ⅰ卷·4)設(shè)函數(shù)f(x)=2x(x-a)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減,則a的取值范圍是( ).

A.(-∞,-2] B.[-2,0) C.(0,2] D.[2,+∞)

2.問題剖析

此題以含參的復(fù)合函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性為問題場景,借助參數(shù)的取值范圍的確定來創(chuàng)設(shè)問題,難度中等.特別地,函數(shù)的基本性質(zhì)主要包括奇偶性、單調(diào)性、周期性、對稱性等眾多相關(guān)的基本性質(zhì),具體問題設(shè)置時,有時單一性質(zhì)直接考查,有時多個性質(zhì)綜合考查.而涉及復(fù)合函數(shù)的基本性質(zhì)問題,也是高考考查中的一個重點(diǎn)與難點(diǎn),要加以高度重視.

具體解決此類復(fù)合函數(shù)的基本性質(zhì)問題,直接思維就是抓住習(xí)慣思維,利用復(fù)合函數(shù)的基本性質(zhì)加以應(yīng)用;而提升思維就是抓住創(chuàng)新思維,利用導(dǎo)數(shù)法加以應(yīng)用;而創(chuàng)造思維就是抓住辯證思維,利用特殊值驗(yàn)證法加以排除與選擇.眾多的思維視角,都為問題的解決與應(yīng)用創(chuàng)造更多的機(jī)會.

3.真題破解

解后反思：借助常規(guī)思維視角,合理分拆題設(shè)條件中的復(fù)合函數(shù),利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合指數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)加以綜合,合理構(gòu)建相應(yīng)的不等式,進(jìn)而得以確定參數(shù)的取值范圍,這是解決此類問題最為常見的一種技巧方法.熟練掌握基本初等函數(shù)的基本性質(zhì)以及復(fù)合函數(shù)的性質(zhì),是解決問題的理論基礎(chǔ).

方法2：(導(dǎo)數(shù)法)依題函數(shù)f(x)=2x(x-a),求導(dǎo)可得f＇(x)=(2x-a)2x(x-a)ln2,而函數(shù)f(x)=2x(x-a)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減,則有f＇(x)=(2x-a)2x(x-a)ln2≤0在區(qū)間(0,1)上恒成立,即2x-a≤0在區(qū)間(0,1)上恒成立,可得a≥2,故選D.

解后反思：借助創(chuàng)新思維視角,利用原函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性,轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的導(dǎo)函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間上取值的非負(fù)(或非正),合理構(gòu)建對應(yīng)的不等式,結(jié)合不等式的求解以及變量的取值限制,得以確定參數(shù)的取值范圍.導(dǎo)數(shù)思維是處理函數(shù)的單調(diào)性問題中比較常用的一種技巧方法,具有較高的應(yīng)用價值與普遍性,要熟練掌握函數(shù)的求導(dǎo)公式以及相關(guān)的綜合應(yīng)用.

方法3：(特殊值驗(yàn)證法)依題函數(shù)(x)=2x(x-a)在區(qū)間(0,1)單調(diào)遞減,則必滿足f(0)>f(1),即20>21-a,亦即0>1-a,解得a>1,對比各選項(xiàng)加以驗(yàn)證,只有選項(xiàng)D滿足,故選D.

解后反思：借助特殊值思維視角,是破解選擇題最為特殊的一種技巧方法,也是辯證統(tǒng)一思維的一種具體形式,在一些相關(guān)選擇題的應(yīng)用中有奇效,可以優(yōu)化邏輯推理,減少數(shù)學(xué)運(yùn)算.特殊值法適用于一些題目中含有字母或具有一般性結(jié)論等的數(shù)學(xué)客觀題,主要是通過對問題中的特殊情況的研究來判斷問題的一般性的規(guī)律,做到“小題小做”或“小題巧做”,快速實(shí)現(xiàn)問題的破解.

4.變式拓展

變式1設(shè)函數(shù)f(x)=2x(x-a)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是( ).

A.(-∞,0] B.[-2,0)

C.(0,2] D.[2,+∞)

解析：依題函數(shù)f(x)=2x(x-a),求導(dǎo)可得f＇(x)=(2x-a)2x(x-a)ln2,而函數(shù)f(x)=2x(x-a)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,則有f＇(x)=(2x-a)2x(x-a)ln2≥0在區(qū)間(0,1)上恒成立,2x-a≥0在區(qū)間(0,1)上恒成立,可得a≤0,故選A.

變式2設(shè)函數(shù)f(x)=log2x(a-x)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞增,則a的取值范圍是( ).

A.(-∞,-2] B.[-2,0)

C.(0,2] D.[2,+∞)

5.教學(xué)啟示

函數(shù)中有圖象的翻折變化及對稱變化問題,往往要利用特殊值、函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性,以及極值點(diǎn)、零點(diǎn),借助極限思想等工具判斷或畫出函數(shù)的圖象來求解,這是考查此類函數(shù)及其應(yīng)用問題的重點(diǎn).此類問題解題的習(xí)慣性思維就是問題的“直譯”,進(jìn)而直接利用與之相關(guān)的知識與方法加以分析與應(yīng)用.本題中的函數(shù)單調(diào)性就是破解問題的“習(xí)慣”,利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性切入與應(yīng)用,是解題的基本技巧與策略.而且解題的創(chuàng)新性思維往往是問題的“根本”.一般要利用與之相關(guān)的知識、工具等來分析與處理,跳出問題的局限,可以使得問題的解析更加流暢、簡捷.本題中的函數(shù)單調(diào)性可以轉(zhuǎn)化為對應(yīng)導(dǎo)函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間上取值的非負(fù)(或非正)的情境,解題更有優(yōu)勢.