例談估算的應用

江蘇省蘇州市吳中區金山高級中學 (215101) 許 樺

估算作為數學運算不可或缺的組成部分,是我們解決數學問題的一種重要手段.它的表現形式是多種多樣的,它是思維廣闊性、發散性、敏捷性的睿智體現,它的運算策略是多思少算,合理快捷,估計準確.估算可以幫助我們認知數學的思想方法,提高思維品質和數學素養,因此應該重視對它的研究與應用.本文通過試題談談估算的一些具體方法,期望能起到觸類旁通的作用.

A.1 B.2 C.3 D.4

析解：取a=2,b=1,c=0,得n≤4,故選D.

評注：因為是單項選擇題,通過賦值驗算避免了復雜的計算與推理,簡化了解題過程.

例2 方程x3+lgx=18的根x≈.(結果精確到0.1)

析解：令f(x)=x3+lgx-18,易知當x>0時,f(x)是增函數,由于f(2.5)<0,f(2.7)>0,所以函數f(x)的零點在區間(2.5,2.7)內,故x≈2.6.

評注：由于要求結果精確到0.1,所以利用數形結合觀察不太合適.用零點定理進行賦值估算比較合理.

評注:若問題結論是定值或唯一時,就可以考慮用特例來求解.

例4 已知函數f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域為[0,+∞),若關于x的不等式f(x)

析解：因為f(x)=x2+ax+b的值域為[0,+∞),且a,b∈R,所以不妨令a=b=0,則f(x)=x2,此時,若關于x的不等式f(x)

評注：用特殊情形來化解問題簡單明了,可謂深入淺出.

例5 使log2(-x)

析解：在同一平面直角坐標系作出函數y=

log2(-x)與函數y=x+1的圖象如圖1所示,觀察可知-1

圖1

評注：利用代數方法不易解決,采用數形結合法,就能直觀看出答案.

例6 設函數f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若對于任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,則實數a的值為.

圖2

評注：利用數形結合,考慮兩個端點與一個切點的特殊位置,“逼出”了a的值.

例7 設平面內有n條直線(n≥3),其中有且僅有兩條直線互相平行,任意三條直線不過同一點.若用f(n)表示這n條直線交點的個數,則f(4)=____________;當n>4時,f(n)=.(用n表示)

評注：通過觀察圖形找出變化規律,結論也就一目了然了.

T(a)表示非負實數a的整數部分,例如T(2.6)=2,T(0.2)=0.按此方案,第6棵樹種植點的坐標應為;第2008棵樹種植點的坐標應為.

析解：根據遞推關系,求出前幾項,探索xk,yk的變化規律.我們發現xk,yk的變化都存在周期性,周期都是5.其中xk是以1,2,3,4,5每5個循環.yk是以1,1,1,1,1,2,2,2,2,2,···,每5個相同,并以公差為1遞增.所以x6=1,y6=2,x2008=3,y2008=402.

評注：通過計算發現周期性的規律,將看似復雜的問題輕松化解了.

A.190 B.171 C.90 D.45

評注：思維直覺的緣由是零的絕對值最小以及對稱性.

例10 在平面直角坐標系xoy中,點A在曲線

y=lnx上,且該曲線在點A處的切線經過點(-e,-1)(e為自然對數的底數),則點A的坐標是.

評注：可以直覺的猜想出方程解為e,再用圖象觀察出方程的解唯一.

例11 如圖3,菱形ABCD邊長為2,∠BAD=60°,E為邊AB的中點.將ΔADE沿DE折起,使A到A′,且平面A′DE⊥平面BCDE,連接A′B,A′C.則四面體A′CDE的外接球直徑為.

圖3

評注：通過構造長方體的模型,很快的解決了問題.

C.f(-1)=f(4) D.g(-1)=g(2)

評注：利用構造的特殊函數,把比較抽象的問題具體化了.

例13 四邊形ABCD是矩形,AB=3AD,點E,F分別是AB,CD的中點,將四邊形AEFD繞EF旋轉至與四邊形BEFC重合,則直線ED,BF所成角α在旋轉過程中( ).

A.逐步變大 B.逐步變小

C.先變小后變大 D.先變大后變小

評注：此題要用計算去判斷是比較復雜的.若從圖形入手,將代數的極限思想應用于圖形中,考慮極端位置和特殊位置,則能合理地推測出結果.

例14 已知a,b,c滿足a=log5(2b+3b),c=log3(5b-2b),則( ).

A.|a-c|≥|b-c|,|a-b|≥|b-c|

B.|a-c|≥|b-c|,|a-b|≤|b-c|

C.|a-c|≤|b-c|,|a-b|≥|b-c|

D.|a-c|≤|b-c|,|a-b|≤|b-c|

析解：由于a,c均用b表示,所以可以考慮b取特殊值,再進行比大小.首先考慮取b=1,則a=1,c=1,此時|a-c|=|b-c|,|a-b|=|b-c|,其次考慮b→0+時,a→log52,c→-∞,此時|a-c|>|b-c|,|a-b|<|b-c|.綜上選B.

評注：此題若常規解法是比較復雜的.若根據a,c均用b表示,考慮特殊值入手,特別是將極限思想應用于解題中,則能快速的比出大小,推測出結果.

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

評注：利用轉化思想與合情推理,通過簡單的適度放縮,解決了比較大小的問題.

評注：由已知得到一個關于n的不易求解的不等式,于是通過合乎情理的放縮進行估算.

總之,估算就是根據已知條件及有關知識對事物的數量或算式的結果作出的大概推斷或估計.它是一種簡單、有效、快速的計算方法,它的顯著特征是少算、多思、快捷、巧妙.它體現了必然與偶然、直觀與抽象、一般與特殊的對立與統一.也蘊含了函數與方程、化歸與轉化、數形結合等數學思想方法.因此,應該重視估算在解決問題中的作用,借此培養學生思維的靈活性,提高創新能力和數學素養.