基于坐標(biāo)思想求解一道向量質(zhì)檢試題

福建省漳州市漳浦第一中學(xué) (363200) 曾建東

坐標(biāo)思想作為貫穿高中數(shù)學(xué)的一種重要思想,在歷年的高考中均著重考查,它體現(xiàn)著數(shù)形結(jié)合的思想,從幾何和代數(shù)兩個(gè)方面體現(xiàn)著數(shù)學(xué)的無窮魅力.基于坐標(biāo)思想的引領(lǐng),本文給出廈門市2023屆高三下學(xué)期第二次質(zhì)量檢測(cè)第7題的一個(gè)較為簡(jiǎn)潔的求解,旨在展示該思想在問題求解中的強(qiáng)大作用.

下面是命題組給出的參考解答.

圖1

注意到△ABC為銳角三角形,一個(gè)自然的想法是:將△ABC中的某個(gè)銳角補(bǔ)成直角,在此基礎(chǔ)上,對(duì)問題進(jìn)行求解.結(jié)合AC=2AB=2這個(gè)條件,可以嘗試將∠BAC補(bǔ)為直角.

圖2

評(píng)析：上述求解過程,充分利用了“圓O為銳角△ABC的外接圓”這一條件,將∠BAC補(bǔ)為直角,通過建系,將題設(shè)條件坐標(biāo)化,通過坐標(biāo)的運(yùn)算,避免了繁雜的條件轉(zhuǎn)化與動(dòng)點(diǎn)位置分析,實(shí)現(xiàn)了問題較為簡(jiǎn)潔的求解,彰顯了坐標(biāo)思想在向量問題求解中的強(qiáng)大威力.

基于坐標(biāo)思想引領(lǐng)數(shù)學(xué)解題,學(xué)生需要從幾何問題的數(shù)量與數(shù)量關(guān)系中抽象出變量與變量之間的關(guān)系,從問題的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu),論斷幾何問題能夠坐標(biāo)化為代數(shù)問題,在這個(gè)過程中,學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)能夠得到很好的培養(yǎng).在幾何條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)與向量的坐標(biāo)過程中,學(xué)生需要收集數(shù)據(jù),整理數(shù)據(jù),提取信息,在這個(gè)過程中,數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)能夠得到很好的培養(yǎng).在坐標(biāo)化后的代數(shù)問題求解中,學(xué)生需要理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算方向、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果,在這個(gè)過程中,學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)能夠得到很好的培養(yǎng).