Weitzenb?ck 不等式的新加強

浙江省開化縣第二中學(324300) 曹嘉興

1919 年,著名數學家Weitzenb?ck 提出了一個僅含三角形邊長和面積的不等式[1]:

在?ABC中, 角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c, ?是它的面積,則有

不等式①也曾作為1961 年第3 屆國際數學奧林匹克(ⅠMO)試題.

Weitzenb?ck 不等式是一個很經典的幾何不等式, 百余年來,關于它的各種證法、加強和推廣的研究一直是初等數學研究和數學競賽研究的熱點,本文再給出幾個新的僅含三角形邊長和面積的優美不等式,并指出這些新的幾何不等式均是Weitzenb?ck 不等式的加強.

定理1在?ABC中, 角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,?是它的面積,則有

證明由海倫公式得

評注顯然有所以a2+b2+c2≥因此不等式②強于不等式①. 同理可得:

當然,若利用文[1]的定理12 上述這幾個不等式還可以進一步加強為等.

文[1]提到T.R.Curry 在1966 年給出Weitzenb?ck 不等式的一個加強式[2]:

類比于不等式⑤,我們得到了:

定理2在?ABC中, 角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,?是它的面積,則有

證明記則由海倫公式得s(s-a)(sb)(s-c)=?2. 因為

所以

把以上三式相乘得abc≥8(s-a)(s-b)(s-c),所以

評注由熟知的不等式x2+y2+z2≥xy+yz+zx可得:再令x=ab,y=bc,z=ac代入上式得:故

由此可見不等式⑥強于不等式①.

已知?ABC的三邊長分別為a,b,c, ?是它的面積,則?ABC的旁心三角形(以?ABC的三個旁切圓的圓心為頂點的三角形稱為?ABC的旁心三角形) 的面積為[3]:

設R和r分別表示?ABC的外接圓半徑和內切圓半徑, 把abc= 4Rsr,a+b+c= 2s, ?=sr一起代入不等式⑥得?R≥2r(歐拉不等式),也就是說不等式⑥既是Weitzenb?ck 不等式的加強,又等價于著名的歐拉不等式R≥2r,它建立了這兩個著名不等式的內在聯系,確實是一個非常漂亮的基本不等式.

定理3在?ABC中, 角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,?是它的面積,則有

證明由文[4]知以為邊可作一個新的三角形, 記為?A′B′C′, 其面積記為?′, 則由本文定理2 得√-兩邊平方并化簡得又因為(見文[4]: 命題5.21), 所以

評注利用基本不等式可得

所以

由此可見不等式⑦強于不等式①.

定理4在?ABC中, 角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,?是它的面積,則有

證明不難證明

這只要把該不等式的兩邊展開, 化簡可得a2(b+c) +b2(c+a) +c2(a+b) ≥ 6abc, 再由a2b+bc2≥ 2abc,b2c+ca2≥2abc,c2a+ab2≥2abc, 這三式相加即知a2(b+c) +b2(c+a) +c2(a+b) ≥6abc成立. 由本文定理2 可得abc(a+b+c)≥16?2,所以

評注由熟知的不等式a2+b2+c2≥ab+bc+ca得2(a2+b2+c2) ≥2(ab+bc+ca),即2(a2+b2+c2) ≥a(b+c)+b(c+a)+c(a+b),再由算術-幾何平均不等式得

由此可見不等式⑧強于不等式①.

定理5 在?ABC中, 角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,?是它的面積,則有

證明不難知道3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2,由本文定理2 得

評注可以證明

最后一個不等式由算術-幾何平均不等式可知其成立,因此不等式⑨強于不等式①.

定理6在?ABC中, 角A,B,C所對的邊長分別為a,b,c,?是它的面積,則有

證明設?ABC的外接圓半徑為R, 由正弦定理得a+b+c= 2R(sinA+ sinB+ sinC), 由熟知的不等式得a+b+c≤由海倫公式可得

評注由熟知的不等式a2+b2+c2≥ab+bc+ca得2(a2+b2+c2)≥2(ab+bc+ca),即