《數學通訊》問題608 的解答與推廣

江西省貴溪市第四中學(335400) 吳善祥

本文考慮如下的多元變量代數式的最值問題:

問題(《數學通訊》2023 年第5 期問題608[1])已知實數a,b,c,d,e滿足a2+b2+c2+d2+e2=1,求

y=|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|+|e-a|的最大值.

為了解答如上問題,需要用到下面這個引理:

引理若xi≥0(i=1,2,··· ,n),α>1,則

當且僅當x1=x2=···=xn時取等號.

證明令f(x) =xα(α>1),f(x)是區間[0,+∞)上的下凸函數, 由Jensen 不等式知對任意的xi∈[0,+∞)(i=1,2,··· ,n),有

筆者對問題608 進行了研究,發現該多元變量代數式可以借助絕對值不等式和上面的引理放縮到一元變量代數式,將問題轉化成一元函數的最值問題.

1 問題解答

分析由絕對值不等式

將

放大,不妨設a≥0,b≤0,c≥0,d≤0,e≥0,此時再不妨設a≥e,易得

解|a-b| ≤|a| + |b|, 當且僅當ab≤0 時取等號;|b-c| ≤|b| + |c|, 當且僅當bc≤0 時取等號; |c-d| ≤|c|+|d|,當且僅當cd≤0 時取等號;|d-e|≤|d|+|e|,當且僅當de≤0 時取等號. 不妨設a≥0,b≤0,c≥0,d≤0,e≥0,此時再不妨設a≥e,便有

評注由于冪平均不等式

使用時要求xi> 0(i=1,2,··· ,n), 但問題608 中的實數a,b,c,d,e的絕對值不一定都大于零,因此不便使用冪平均不等式來推得

而引理的引入卻能解決這個問題.

2 問題推廣

波利亞說過:“解題就像采蘑菇,當我們發現一個蘑菇時,還應四處看看,它的周圍可能還有一個蘑菇圈.”筆者深入挖掘問題608 的結構背景,將變量個數改成n(n≥2)個,將約束條件的2 次冪改成α(α>1)次冪,做了嘗試性探究,發現問題608 還可以給出如下變式:

變式已知實數ai(i=1,2,··· ,n) 滿足1(α>1),求的最大值.

分析利用絕對值不等式

解|ai-ai+1| ≤|ai| + |ai+1|, 當且僅當aiai+1≤0 時取等號,i= 1,2,··· ,n- 1, 不妨設(-1)i+1ai≥0(i=1,2,3,··· ,n).

當n為奇數時,再不妨設a1≥an,便有

當

且an=0 時取等號. 當n為偶數時,