指數、對數和冪的比較大小問題

■朱 梅

指數、對數和冪的代數式的比較大小問題,是高考中的常考點,高考主要以選擇題的形式出現,考查指數、對數、冪的基本運算,以及相關的基本初等函數的圖像與性質的應用。

一、單調性法

例1已知則a,b,c的大小關系是( )。

A.b>c>aB.b>a>c

C.c>b>aD.c>a>b

分析:根據題設條件,利用對數函數的單調性進行放縮處理,分別確定參數a,b的取值范圍,在此基礎上確定參數c的取值范圍,從而得到a,b,c的大小關系。

解:因為0,所以-1lne=1,所以b>1。又0

綜上分析,可得b>c>a。應選A。

利用指數函數、對數函數,以及冪函數的單調性比較代數式的大小,首先要觀察代數式形式的異同,底數相同時,可考慮指數函數的單調性,指數相同時,可考慮冪函數的單調性,當都不相同時,可分析代數式的大致范圍,進行比較大小。比較代數式的大小的兩個思路:一是判斷出各個數值所在的區間(一般是三個區間(-∞,0),(0,1),(1,+∞)),二是利用函數的單調性比較大小。

二、媒介法

例2若a=log23,b=log34,c=log45,則a,b,c的大小關系是( )。

A.a

分析:根據題設條件,通過對數式的合理放縮處理,引入中間值作為媒介進行過渡處理,合理“串聯”起各參數a,b,c所對應的關系式與對應“媒介值”之間的大小關系,進而加以正確分析與判斷。

三、數形結合法

例3已知x,y,z均為大于0 的實數,且2x=3y=log5z,則x,y,z的大小關系正確的是( )。

A.x>y>zB.x>z>y

C.z>x>yD.z>y>x

分析:根據題設條件,將所求問題轉化為三個函數與對應直線的交點的橫坐標的關系,作出函數的圖像,利用數形結合法確定x,y,z的大小關系。

解:依題意可知x,y,z均為大于0的實數,所以2x=3y=log5z>1。

所求問題可轉化為函數y=2x,y=3x,y=log5x與直線y=t>1 的交點的橫坐標的關系,從而可比較x,y,z的大小。

作出函數y=2x,y=3x,y=log5x,以及直線y=t>1 的圖像,如圖1所示。

圖1

結合圖像可知,其橫坐標的關系為z>x>y。應選C。

利用數形結合法進行代數式的比較大小時,通過觀察相應的代數式的結構特征,畫出對應的函數圖像,觀察函數圖像的交點位置,從而確定所給指數、對數、冪的大小關系。

四、特殊值法

例4已知a,b,c滿足a=log5(2b+3b),c=log3(5b-2b),則( )。

A.|a-c|≥|b-c|,|a-b|≥|b-c|

B.|a-c|≥|b-c|,|a-b|≤|b-c|

C.|a-c|≤|b-c|,|a-b|≥|b-c|

D.|a-c|≤|b-c|,|a-b|≤|b-c|

分析:根據題設條件,利用特殊值法,選取特殊值b=2,代入相應的關系式,合理作差比較,從而結合對數運算,排除不滿足特殊值的選項,進而得到正確的結果。

解:令b=2,則a=log5(2b+3b)=log513,c=log3(5b-2b)=log321,此時ac-b>0,也即|a-c|>|bc|,排除C、D。

特殊值法是“小題小做”的重要策略,利用特殊值法進行合理排除,是一種常見的解題方法,這種方法既可以提高解題速度,又能提高解題的準確性。

五、引入參數法

分析:根據題設條件中的不定方程引入參數,結合對數式與指數式的互化,可得對應代數式的指數冪形式,利用冪函數的單調性即可判斷大小關系,從而得到三個代數式的大小排序。

當題目條件中出現連等式時,可通過引入參數把連等式設為一個常數,利用指數式與對數式的相互轉化,進行大小比較。利用此方法解決問題的關鍵是熟悉指數、對數運算公式,以及指數函數與對數函數的圖像與性質的應用。

1.(多選題)已知log3a>log3b,則下列不等式一定成立的是( )。

2.(多選題)已知函數m(x)=2x,h(x)=3x,且m(a)=h(b),則下列式子可能成立的是( )。

A.a<0,b>0

B.a

C.a=b

D.0

提示:在同一坐標系下畫出函數m(x)和h(x)的圖像(圖略)。結合圖像得,當m(a)=h(b)時,a,b的關系可能為a