例說對(duì)數(shù)型函數(shù)的最值的應(yīng)用

■薛忠云

函數(shù)的最值是函數(shù)的重要性質(zhì)之一,下面從六個(gè)方面介紹對(duì)數(shù)型函數(shù)的最值的應(yīng)用,希望對(duì)大家的學(xué)習(xí)有所幫助。

一、已知函數(shù)的最值求參數(shù)的值

例1若函數(shù)f(x)=2logax+2(a>0,且a≠1)在區(qū)間上的最大值為6,則a的值為_____。

二、已知函數(shù)的最值求其他函數(shù)的最值

例2已知函數(shù)f(x)=x-lnx的最小值為1,則函數(shù)的最小值為____。

評(píng)注:將f(x)轉(zhuǎn)化為f(t)=t-lnt,令得到f(t)=y=g(x)-ln2,結(jié)合已知函數(shù)最小值即得目標(biāo)函數(shù)的最小值。

三、已知函數(shù)有最值求參數(shù)的取值范圍

例3若函數(shù)f(x)=loga(-x2-ax-1)(a>0,且a≠1)有最大值,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_____。

因?yàn)閮?nèi)層函數(shù)y=-x2-ax-1是開口向下的拋物線,又f(x)有最大值,所以外層函數(shù)f(x)為增函數(shù),且內(nèi)層函數(shù)的最大值為正數(shù),所以解得a>2。故實(shí)數(shù)a的取值范圍為(2,+∞)。

評(píng)注:復(fù)合函數(shù)中,內(nèi)層函數(shù)的值域是外層函數(shù)的定義域。

四、已知函數(shù)的值域?yàn)镽 求參數(shù)的取值范圍

例 4 已 知 函 數(shù)f(x) =的值域?yàn)镽,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____。

當(dāng)x≤1 時(shí),f(x)=-log2(2-x)為單調(diào)遞增函數(shù),且f(1)=0。當(dāng)x→-∞時(shí),f(x)趨近于負(fù)無窮大,故當(dāng)x≤1 時(shí),f(x)的取值范圍是(-∞,0]。

當(dāng)x>1時(shí),

當(dāng)a≤1時(shí),對(duì)鉤函數(shù)在(1,+∞)上單調(diào)遞增,其值域是(f(1),+∞)=(a-3,+∞),要使f(x)的值域?yàn)镽,只需a-3≤0,可得a≤3,所以a≤1,滿足題意。

五、已知函數(shù)的最大值與最小值的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍

六、已知函數(shù)沒有最小值求參數(shù)的取值范圍