對(duì)數(shù)函數(shù)的探究性問(wèn)題的求解策略

■王佩其

對(duì)數(shù)函數(shù)的探究性問(wèn)題,不僅要考查對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì),也要考查內(nèi)層函數(shù)的性質(zhì),且不可顧此失彼。

一、對(duì)數(shù)函數(shù)與一次函數(shù)的綜合

形如f(x)=loga(kx+b)的函數(shù),稱為一次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)。

例1已知函數(shù)f(x)=loga(3-ax)。

(1)當(dāng)x∈[0,2]時(shí),函數(shù)f(x)恒有意義,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

(2)是否存在這樣的實(shí)數(shù)a,使得f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù),且最大值為1? 如果存在,求出a的值;如果不存在,說(shuō)明理由。

解:(1)已知a>0且a≠1,設(shè)t(x)=3-ax,則t(x)=3-ax為減函數(shù)。當(dāng)x∈[0,2]時(shí),t(x)的最小值為3-2a,當(dāng)x∈[0,2]時(shí),f(x)恒有意義,即當(dāng)x∈[0,2]時(shí),3-ax>0恒成立,所以3-2a>0,所以

因?yàn)閍>0且a≠1,所以實(shí)數(shù)a∈(0,1)

(2)由t(x)=3-ax,可知t(x)為減函數(shù)。因?yàn)閒(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù),所以y=logat為增函數(shù),所以a>1。當(dāng)x∈[1,2]時(shí),函數(shù)t(x)的最小值為3-2a,函數(shù)f(x)的最大值為f(1)=loga(3-a),所以解得這時(shí)a不存在。

故不存在這樣的實(shí)數(shù)a,使得f(x)在區(qū)間[1,2]上為減函數(shù),且最大值為1。

涉及函數(shù)的性質(zhì),都要在其定義域上討論。利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性時(shí),一定要明確底數(shù)a的取值對(duì)函數(shù)增減性的影響,以及真數(shù)必須為正的限制條件。

二、對(duì)數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的綜合

形如f(x)=logm(ax2+bx+c)(a≠0)的函數(shù),稱為二次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)。

例2已知函數(shù)2ax+3)。

(1)若f(-1)=-3,求f(x)的單調(diào)區(qū)間。

(2)是否存在實(shí)數(shù)a,使得f(x)在(-∞,2)上為增函數(shù)? 若存在,求出a的范圍;若不存在,說(shuō)明理由。

故不存在實(shí)數(shù)a,使得f(x)在(-∞,2)上為增函數(shù)。

求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)的值域或單調(diào)性問(wèn)題時(shí),必須弄清三個(gè)方面的問(wèn)題:一是定義域,所有問(wèn)題都必須在定義域內(nèi)討論;二是底數(shù)與1的大小關(guān)系;三是復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成,即它是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的。