根據函數零點的個數求參數問題例析

■劉登麗

函數的零點是函數的重要性質,是高考的常考點。解答這類問題,需要借助函數的圖像、性質等知識。

一、無零點問題

例1若函數f(x)=mx-m+1 在區間[0,1]上無零點,則實數m的取值范圍為( )。

A.01

C.m<0 D.m<1

解:當m=0 時,可得f(x)=1,此時函數f(x)無零點,符合題意。

當m≠0時,令f(x)=0,則由,解得0

綜上可知,函數f(x)=mx-m+1在區間[0,1]上無零點,則m<1。應選D。

評注:解題時,不能忽視m=0的情況。

二、存在零點問題

例2若函數f(x)=e-x-ln(x+a)在(0,+∞)上存在零點,則實數a的取值范圍為_____。

解:由題意知函數y=e-x與g(x)=ln(x+a)的圖像在(0,+∞)上有交點,畫出這兩個函數的大致圖像,如圖1所示。

圖1

由圖可知,當a>0 時,g(x)=ln(x+a)的圖像是由函數y=lnx的圖像向左平移a個單位長度得到的,根據圖像可知此時只需要g(0)=lna<1,即0

綜上可得,a

評注:對于函數f(x),當a>0時,函數f(x+a)的圖像是由f(x)的圖像向左平移a個單位長度得到的;當a<0 時,函數f(x+a)的圖像是由f(x)的圖像向右平移-a個單位長度得到的。

三、一個零點問題

例3(1)若2 是函數f(x)=a·2xlog2x的零點,則a=____。

(2)函數f(x)=ax2-x-1有且僅有一個零點,則實數a的值為____。

解:(1)由題意得f(2)=4a-1=0,所以

(2)當a=0 時,f(x)=-x-1,令f(x)=0,可得x=-1,所以f(x)有一個零點為-1。當a≠0時,由Δ=1+4a=0,可得

故滿足條件的實數a的值為0或

評注:對于一元二次方程,當Δ=0時,方程有兩個相等實根;當Δ>0時,方程有兩個不相等實根;當Δ<0時,方程無實根。

四、兩個零點問題

評注:分段函數的零點個數是各段函數零點個數之和。

五、三個零點問題

例 5 已 知 函 數f(x) =若函數g(x)=f[f(x)]-a有三個不同的零點,則實數a的取值范圍是_____。

解:設t=f(x)。令f[f(x)]-a=0,則a=f(t)。

在同一坐標系內,畫出y=a,y=f(t)的大致圖像,如圖2所示。

圖2

由圖可得,當a≥-1 時,y=a與y=f(t)的圖像有兩個交點,設交點的橫坐標為t1,t2(不妨設t2>t1),則t1< -1,t2≥-1。當t1<-1時,t1=f(x)有一個解;當t2≥-1 時,t2=f(x)有兩個解。

當a<-1時,y=a與y=f(t)的圖像只有一個交點,不合題意。

故當a≥-1,即a∈[-1,+∞)時,函數g(x)=f[f(x)]-a有三個不同的零點。

評注:復合函數問題中,內層函數的值域是外層函數的定義域。

提 示: 作 出 函 數f(x) =的圖像,如圖3 所示。由g(x)=f(x)+2x+a,令g(x)=0,可得f(x)=-2x-a,作出直線y=-2x-a的圖像(如圖3)。

圖3

由題意可得方程f(x)=-2x-a有兩個不同的實數根,即函數f(x)的圖像與直線y=-2x-a有兩個交點。當直線經過點(0,1)時,可得-a=1,即a=-1;當直線y=-2x-a與y=(x+1)2(x≤0)的圖像相切時,可得x2+4x+1+a=0,由Δ=16-4(a+1)=0,可得a=3。由數形結合知,當a<-1 或a=3 時,直線y=-2x-a和f(x)的圖像有兩個交點。故所求a的取值范圍為{a|a<-1或a=3}。