指數函數與對數函數核心考點綜合演練

■劉中亮(特級教師)

一、選擇題

1.已知0

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

A.a

C.a

3.函數f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)的值域為[1,+∞),則f(-4)與f(1)的關系是( )。

A.f(-4)=f(1) B.f(-4)>f(1)

C.f(-4)

5.設a=50.4,b=log0.40.5,c=log40.4,則a,b,c的大小關系是( )。

A.a

C.c

6.已知函數f(x)=log2(x2-ax+3a)在區間[2,+∞)上單調遞增,則a的取值范圍是( )。

A.(-∞,4] B.(-∞,2]

C.[-4,4] D.(-4,4]

A.(0,+∞) B.(2,+∞)

C.(1,+∞) D.(3,+∞)

8.關于x的方程有解,則a的取值范圍是( )。

A.0≤a<1 B.1≤a<2

C.a≥1 D.a>2

9.已知a=5log23.4,b=5log43.6,c=,則( )。

A.a>b>cB.b>a>c

C.a>c>bD.c>a>b

10.已知a=log20.3,b=20.1,c=0.21.3,則a,b,c的大小關系是( )。

A.a

C.b

A.(1,+∞)

B.(-∞,-1)∪(1,+∞)

C.(-1,1)

D.(-1,0)∪(0,1)

13.(多選題)已知正實數x,y滿足,則下列結論正確的是( )。

14.(多選題)對于0

15.已知函數f(x)=x2-2x+b在區間(2,4)內有唯一零點,則b的取值范圍是( )。A.R B.(-∞,0)C.(-8,+∞) D.(-8,0)

二、填空題

17.已知m≤2x+1在x∈[0,+∞)上恒成立,則實數m的最大值是____。

18.已知函數f(x)=lnx+ex-m,函數f(x)在區間(0,+∞)上單調遞_____;若函數f(x)在區間(1,e)上有零點,則m的取值范圍是____。

19.已知二次函數y=x2-4x+m,m為實數。若此函數有兩個不同的零點,一個在(-∞,1)內,另一個在(2,+∞)內,則m的取值范圍是____;若此函數的兩個不同的零點都在區間(1,+∞)內,則m的取值范圍是____。

三、解答題

20.已知定義域為R 的單調函數f(x)是奇函數,當x>0時

(1)求f(x)的解析式。

(2)若對任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求實數k的取值范圍。

21.已知函數f(x)=2-x。

(2)若函數h(x)=f(x)+g(x),且h(x),g(x)滿足下列條件:①h(x)為偶函數;②h(x)≥2 且?x∈R,使得h(x)=2;③g(x)>0且g(x)恒過(0,1)點。寫出一個符合題意的函數g(x),并說明理由。

22.已知函數f(x)=4x+a·2x+3,a∈R。

(1)當a=-4 時,x∈[0,2],求函數f(x)的值域。

(2)若 對 于 任 意 的x∈(0,+ ∞),f(x)>0恒成立,求實數a的取值范圍。

23.已知函數f(x)=-4x+k·2x+1-2k,x∈[0,1]。

(1)當k=-1時,求f(x)的值域。(2)若f(x)的最大值為,求實數k的值。

(1)若a=-1,求f(x)的單調區間。

(2)若f(x)有最大值3,求a的值。

(3)若f(x)的值域是(0,+∞),求a的取值范圍。

25.已知函數f(x)=2x+k·2-x,k∈R。

(1)若函數f(x)為奇函數,求實數k的值。

(2)若對任意的x∈[0,+∞)都有f(x)>2-x成立,求實數k的取值范圍。

26.已知m>0,函數f(x)=lg(2xm)。

(1)當m=1時,解不等式f(x)≤0。(2)若對于任意在區間[t,2t]上的最大值與最小值的和不大于1,求m的取值范圍。

27.已知函數f(x)=2x-2-x。

(1)判斷并證明f(x)的奇偶性。

(2)求函數g(x)=22x+2-2x-f(x)在區間[0,1]上的最小值和最大值。

28.設函數f(x)=log2(ax-bx),且f(1)=1,f(2)=log212。

(1)求a,b的值。

(2)求函數f(x)的零點。

(3)設g(x)=ax-bx,求g(x)在[0,4]上的值域。

29.某公司制定了一個激勵銷售人員的獎勵方案:當銷售利潤不超過15 萬元時,按銷售利潤的10%進行獎勵;當銷售利潤超過15萬元時,若超過部分為A萬元,則超出部分按2log5(A+1)進行獎勵,沒超出部分仍按銷售利潤的10%進行獎勵。記獎金總額為y(單位:萬元),銷售利潤為x(單位:萬元)。

(1)寫出該公司激勵銷售人員的獎勵方案的函數表達式。

(2)如果業務員老張獲得5.5 萬元的獎金,那么他的銷售利潤是多少萬元?

30.已知函數f(x)=log4(4x-1)。

(1)求f(x)的定義域。

(2)證明:f(x)在(0,+∞)上為單調遞增函數。

(3)求f(x)在區間上的值域。

31.已知函數f(x)=lg(x2-2ax+1)。

(1)若函數f(x)的定義域為R,求a的取值范圍。

(2)若函數f(x)的值域為R,求a的取值范圍。

32.已知函數f(x)=(logax)2-logax-2(a>0,a≠1)。

(1)當a=2時,求f(2)。

(2)解關于x的不等式f(x)>0。

(3)若?x∈[2,4],f(x)≥4恒成立,求實數a的取值范圍。

33.某地區今年1月,2月,3月患某種傳染病的人數分別為52,54,58,為了預測以后各月的患病人數,甲選擇了模型f(x)=ax2+bx+c,乙選擇了模型y=p·qx+r,其中y為 患 病 人 數,x為 月 份 數,a,b,c,p,q,r都是常數,結果4月,5月,6月份的患病人數分別為66,82,115。

(1)你認為誰選擇的模型較好? (需說明理由)

(2)至少要經過多少個月患該傳染病的人數將會超過2000? 試用你選擇的較好模型解決上述問題。

一、選擇題

1.提示:由指數函數y=ax(0

3.提示:因為函數f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)的值域為[1,+∞),所以a>1。又函數f(x)=a|x+1|(a>0,且a≠1)的圖像關于直線x=-1 對稱,所以f(-4)>f(1)。應選B。

4.提示:結合分段函數自變量的取值區間求值。因為log23∈(1,2),所以f(log23)=f(log23+1)=f(log26)=f(log26+1)=f(log212)=f(log212+1)=f(log224)=應選D。

5.提示:利用指數函數的性質與對數函數的性質分別判斷a,b,c與0 和1 的大小,即可得結果。因為a=50.4>50=1,0

6.提示:函數f(x)=log2(x2-ax+3a)在區間[2,+ ∞)上單調遞增,所以解得-4

10.提示:由對數函數和指數函數的性質知a=log20.3<0,b=20.1>20=1,0

二、填空題

16.提示:本題等價于y=2x2+mx-3在(-1,1)上單調遞增。因為對稱軸為x=,所以,可得m≥4,即實數m的取值范圍是[4,+∞)。

17.提示:由指數函數的性質,可得y=2x在[0,+∞)上為單調遞增函數,所以2x≥1,可得2x+1≥2,即2x+1 的最小值為2。因為m≤2x+1在x∈[0,+∞)上恒成立,所以m≤2,即實數m的最大值為2。

18.提示:因為在區間(0,+∞)上隨著x增大,lnx,ex均增大,所以函數f(x)在區間(0,+∞)上單調遞增。由題意知(e-m)(1+ee-m)<0,解得e

19.提示:設y=f(x)=x2-4x+m,則f(x)的圖像開口向上,對稱軸為直線x=2。若f(x)有兩個不同的零點,一個在(-∞,1)內,另 一 個 在 (2,+ ∞)內,則 滿 足即解得m<3。若f(x)的兩個不同的零點都在區間(1,+∞)內,則解得3

三、解答題

20.提示:(1)因為定義域為R 的函數f(x)是奇函數,所以f(0)=0。當x<0時,-x>0,所以。因為函數f(x)是奇函數,所以f(x)=-f(-x),所以

由f(t2-2t)+f(2t2-k)<0,可得f(t2-2t)<-f(2t2-k)。因為函數f(x)是奇函數,所以f(t2-2t)k-2t2,即3t2-2t-k>0對任意t∈R 恒成立,所以Δ=4+12k<0,解得故實數k的取值范圍是

(2)滿足題意的函數g(x)=2x(答案不唯一)。

理由如下:①因為h(x)=2x+2-x,所以h(-x)=2-x+2-(-x)=2-x+2x=h(x),所以h(x)=2x+2-x為偶函數。

③g(x)=2x>0,g(x)恒過(0,1)點。

22.提示:(1)當a=-4時,令t=2x,由x∈[0,2],可得t∈[1,4],所以原函數等價于y=t2-4t+3=(t-2)2-1。

當t=2時,ymin=-1;當t=4時,ymax=3。故函數f(x)的值域為[-1,3]。

23.提示:(1)當k=-1時,f(x)=-4x-2x+1+2在[0,1]上單調遞減,所以f(x)max=f(0)=-1,f(x)min=f(1)=-6,所以f(x)的值域為[-6,-1]。

(2)f(x)=-(2x)2+2k·2x-2k,令2x=t,t∈[1,2],則原函數等價于g(t)=-t2+2kt-2k,t∈[1,2],其對稱軸為t=k。

①當k≤1時,g(t)在[1,2]上單調遞減,可得這時無解;

②當1

(3)由指數函數的性質知,要使f(x)的值域為(0,+∞),需要h(x)=ax2-4x+3的值域為R,因此只能有a=0。若a≠0,則h(x)為二次函數,其值域不可能為R。故a的取值范圍是{0}。

25.提示:(1)因為f(x)=2x+k·2-x是奇函數,所以f(-x)=-f(x),即2-x+k·2x=-(2x+k·2-x),所以(1+k)·2-x+(k+1)·2x=0對一切x∈R 恒成立,所以1+k=0,即k=-1。

(2)因為x∈[0,+∞),都有f(x)>2-x,即2x+k·2-x>2-x成立,所以1-k<22x對x≥0恒成立,所以1-k<(22x)min。因為y=22x在[0,+ ∞)上單調遞增,所以(22x)min=1,所以1-k<1,即k>0。

26.提示:(1)因為m=1,所以f(x)=lg(2x-1)≤0,所以解得x≤1,所以不等式的解集為

27.提示:(1)函數f(x)=2x-2-x的定義域為R,且定義域關于原點對稱。因為f(-x)=2-x-2x=-(2x-2-x)=-f(x),所以f(x)=2x-2-x為奇函數。

(2)設u=f(x),因為函數y1=2x為增函數,函數y2=2-x為減函數,所以函數u=2x-2-x=f(x)為增函數。

(2)由(1)知f(x)=log2(4x-2x)。令f(x)=0得4x-2x=1,即(2x)2-2x-1=0,

29.提示:(1)由題意得獎金總額y=

(2)當x∈(0,15]時,0.1x≤1.5,由y=5.5>1.5,可得x>15,所以1.5+2log5(x-14)=5.5,解得x=39,即老張的銷售利潤是39萬元。

30.提示:(1)因為f(x)=log4(4x-1),所以4x-1>0,所以x>0,所以f(x)的定義域為(0,+∞)。

(2)函數t=4x-1在(0,+∞)上為增函數,y=log4t在(0,+∞)上也為增函數,根據復合函數的單調性,可知f(x)在(0,+∞)上為單調遞增函數。

31.提示:(1)因為函數f(x)的定義域為R,所以x2-2ax+1>0對任意的x∈R 都成立,所以Δ=4a2-4<0,解得-1

(2)若函數f(x)的值域為R,則函數y=x2-2ax+1的值域包含(0,+∞),所以Δ=4a2-4≥0,解得a≤-1或a≥1。

32.提示:(1)當a=2時,f(x)=(log2x)2-log2x-2,所以f(2)=1-1-2=-2。

(2)由f(x)>0 得(logax)2-logax-2=(logax-2)(logax+1)>0,所以logax<-1或logax>2。

當a>1時,解不等式可得或x>a2;當0

綜上所述,當a>1時,f(x)>0的解集為當00的解集為

(3)由f(x)≥4 得(logax)2-logax-6=(logax-3)(logax+2)≥0,所以logax≤-2或logax≥3。

①當a>1 時,(logax)max=loga4,(logax)min=loga2,所以loga4≤-2=logaa-2或loga2≥3=logaa3,解得

②當0

因為g(4),g(5),g(6)更接近真實值,所以應將y=2x+50作為模擬函數。

(2)令2x+50>2000,解得x>log21950≈10.9,所以至少經過11個月患該傳染病的人數將會超過2000。