對數函數單調性中的常見錯解剖析

■張志遠

函數的單調性是函數的重要性質。函數的單調性問題綜合性強,難度大,稍有疏忽就可能出現錯誤,下面就對數函數的單調性中的常見錯解進行舉例剖析。

一、求單調區間忽視函數的定義域

例1求函數1)的單調區間。

錯解剖析:錯解中忽視了函數f(x)的定義域,因為單調區間是定義域的子集,在解函數問題時,一定要樹立“定義域優先”的意識。

二、求單調區間忽視對底數的分類討論

例2求函數f(x)=loga(x2-2x-3)的單調區間。

錯解:由x2-2x-3>0,可得函數f(x)的定義域為(-∞,-1)∪(3,+∞)。令u=x2-2x-3,則y=g(u)=logau。因為u=x2-2x-3=(x-1)2-4在區間(-∞,-1)上單調遞減,在區間(3,+∞)上單調遞增,所以函數f(x)的單調遞減區間是(-∞,-1),單調遞增區間是(3,+∞)。

錯解剖析:上述錯解沒有注意到底數對單調性的影響,當底數不確定時,要對底數分情況進行討論。

正解:由x2-2x-3>0,可得函數f(x)的定義域為(-∞,-1)∪(3,+∞)。令u=x2-2x-3,則y=g(u)=logau。函數u=x2-2x-3=(x-1)2-4在區間(-∞,-1)上單調遞減,在區間(3,+∞)上單調遞增。當01 時,函數g(u)=logau在定義域內為增函數。故當01時,f(x)=loga(x2-2x-3)的單調減區間是(-∞,-1),單調增區間是(3,+∞)。