一個加強歐拉不等式的幾何意義及應用
2023-11-30 17:57:07戴程嘉劉金強李春霞
中學數學研究 2023年11期
戴程嘉 劉金強 李春霞
在文［1］中，作者得到了一個歐拉不等式的加強形式，即在△ABC中，Rr≥（a+b）（b+c）（c+a）4abc≥rR+32.
再利用歐拉不等式我們可得到下面這個不等式鏈：在△ABC中，Rr≥（a+b）（b+c）（c+a）4abc≥2≥rR+32.
證明：利用基本不等式得（a+b）（b+c）（c+a）≥2[KF（]ab[KF）]·[KF（]bc[KF）]·2[KF（]ca[KF）]=8abc.所以（a+b）（b+c）（c+a）4abc≥2.由歐拉不等式得Rr≥2，即0＜rR≤12，所以32＜rR+32≤2，不等式鏈得證.
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