SPCA和OCHD相結合的旋轉機械早期微弱故障檢測方法

李鑫 程軍圣 吳小偉 王健 楊宇

摘要：針對旋轉機械早期微弱故障難以被及時準確檢測的問題，提出了一種基于辛主成分分析（SPCA）和單分類超圓盤（OCHD）的智能檢測方法。首先，采用SPCA將振動信號映射到辛空間，并提取最能表征信號主要能量和有效信息的辛特征值作為旋轉機械故障特征。然后，將超圓盤模型引入單分類領域，提出了OCHD模型，該模型采用超圓盤模型評估已知樣本的類別分布，并通過尋找幾何模型上距離原點最近的點來構建最優單分類超平面，從而實現早期微弱故障的智能檢測。最后，采用辛辛那提大學軸承全壽命周期數據驗證所提方法的有效性，實驗結果表明：SPCA能夠有效提取軸承的敏感故障信息，且OCHD的故障檢測性能明顯優于其他單分類模型。

關鍵詞：微弱故障檢測；旋轉機械；辛主成分分析；超圓盤模型；單分類超圓盤

中圖分類號：TH17

DOI：10.3969/j.issn.1004-132X.2023.15.005

Early Weak Fault Detection Method of Gear Rotating Machinery by

Combining SPCA and OCHD

LI Xin1，2 CHENG Junsheng1，2 WU Xiaowei3，4 WANG Jian4 YANG Yu1，2

1.State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body，Hunan University，

Changsha，410082

2.Hunan Provincial Key Laboratory of Equipment Service Quality Assurance，Hunan University，

Changsha，410082

3.AECC Hunan Aviation Powerplant Research Institute，Zhuzhou，Hunan，412002

4.AECC Key Laboratory of Aero-engine Vibration Technology，Zhuzhou，Hunan，412002

Abstract： Aiming at the problems that early weak faults of rotating machinery were difficult to detect in time and accurately， an intelligent detection method was proposed based on SPCA and OCHD. Firstly， SPCA was used to map vibration signals to a symplectic space， and the symplectic eigenvalues which might best characterize the main energy and effective information of the signals were extracted as the fault features of rotating machinery. Then， the hyperdisk model was introduced into the one-class classification domain to propose the OCHD model. OCHD used the hyperdisk model to evaluate the class distribution of known samples， and the optimal one-class hyperplane was constructed by finding the closest points on the geometric model to the origin， so as to realize the intelligent detection of early weak faults. Finally， the effectiveness of the proposed method was verified by the bearing life cycle data from the university of Cincinnati. The experimental results show that SPCA may effectively extract the sensitive fault information of bearings， and the fault detection performance of OCHD is significantly better than that of other one-class models.

Key words： weak fault detection； rotating machinery； symplectic principal component analysis（SPCA）； hyperdisk model； one-class hyperdisk（OCHD）

0 引言

對于旋轉機械，設備失效一般是由微弱故障逐漸演化而來的［1］，因此，開展旋轉機械的早期微弱故障檢測研究對保障設備長期安全穩定運行、避免嚴重的生產事故和人員損失具有十分重要的意義［2］。然而，旋轉機械振動信號通常是由多源復雜信號與噪聲信號耦合而成的，具有非線性（各源信號非線性疊加）、非平穩的特點，這就造成早期微弱故障信息極易被其他干擾成分所淹沒［3］，因此，如何及時準確地檢測出設備的早期故障仍是一個具有挑戰性的難題。

智能故障檢測的核心步驟包括故障特征表征和檢測模型的構建［4］。故障特征表征是通過信號分析方法提取能夠反映旋轉機械故障狀態的敏感特征。目前，絕大多數故障特征表征方法都是從歐氏幾何角度對信號進行分析處理的。近年來，以辛幾何為基礎的時序信號分析方法為該領域的研究提供了一條有效的途徑。例如，LEI等［5］將辛幾何與信息熵相結合，提出了基于辛熵的軸承故障特征提取方法，該方法能有效提取軸承的本質故障特征。CHENG等［6］提出了基于辛變化熵的齒輪早期故障特征提取方法，實驗結果驗證了該方法的有效性。PAN等［7］提出了辛幾何模態分解（symplectic geometry mode decomposition，SGMD）方法，以保持原始數據的本質特征不變，并增強旋轉機械故障信息。鄭直等［8］通過SGMD方法對原始信號進行重構，并提取重構信號中的時域、頻域統計參數作為故障特征，作為核模糊C均值聚類模型的輸入，以實現軸承的智能故障診斷。LI等［9］提出了一種辛稀疏支持矩陣機模型，并將其應用于軸承故障診斷，該模型能夠自動在辛空間中提取軸承的有效故障成分，并實現軸承狀態的自動判別。此外，LEI等［10］將辛幾何整合到主成分分析（principal component analysis，PCA）方法中，提出了基于辛主成分分析（symplectic principal component analysis，SPCA）的時間序列分析方法。不同于傳統的PCA方法，SPCA將數據映射到辛空間，采用辛相似變換保持數據的本質特征不變，并挖掘數據的主要特征，消除數據的冗余特征及噪聲成分。鑒于SPCA優異的特征提取性能，本文采用SPCA對振動信號進行預處理，以提取旋轉機械的本質故障信息。在SPCA中，辛特征值（symplectic eigenvalue，SE）反映了原始數據在辛空間不同方向上的能量分布，故選取最能表征信號主要能量和有效信息的辛特征值作為旋轉機械故障特征。

旋轉機械絕大多數時間都運行在正常狀態下，這就造成了正常狀態數據豐富，而故障狀態數據獲取困難，極端情況下甚至無法獲得任何故障數據，因此，旋轉機械故障檢測實質上是一個單分類問題。目前在故障檢測領域常采用的單分類模型有單分類支持向量機（one-class support vector machine，OCSVM）［11］、支持向量數據描述（support vector data description，SVDD）［12］、單類凸包分類（one-class classification based on convex hull，OCCCH）［13］等。FERNNDEZ-FRANCOS等［14］通過提取振動信號邊頻帶特征構建OCSVM，實現了軸承微弱故障的智能檢測。SAARI等［15］著重研究了OCSVM的結構參數對軸承故障檢測精度的影響，同時給出了參數設置的指導方案。SHIN等［16］將SVDD應用于復雜機電設備的故障檢測，并取得良好的故障檢測效果。WANG等［17］提取頻譜度量指標與多尺度散度熵作為敏感故障特征，并采用SVDD實現機械設備早期故障的在線檢測。ZENG等［18］提出了基于OCCCH的軸承故障檢測方法，實驗結果驗證了該方法的有效性。NEZ等［19］構造了一種混合近似OCCCH模型，用于工業生產的異常值檢測。從計算幾何的角度分析，SVDD和OCCCH都采用一個幾何模型評估已知單類樣本分布，并利用未知樣本與所構建幾何模型的相似性測度，判定樣本是否屬于異類，這啟發我們探索利用其他幾何模型以獲得更準確地樣本分布。本文將超圓盤模型引入單分類領域，提出了一種單分類超圓盤（one-class hyperdisk，OCHD）模型。該模型采用超圓盤模型評估已知樣本的類別分布，并通過尋找幾何模型上距離原點最近的點，構建最優單分類超平面。

本文提出了基于SPCA和OCHD的旋轉機械微弱故障檢測方法。首先將振動信號映射到辛空間中，采用SPCA獲取數據的辛特征值。然后選取能量占比較大的辛特征值構成特征向量，并將其作為OCHD的輸入。最后，根據模型的輸出結果實現故障的智能檢測。

1 辛主成分分析SPCA

SPCA將辛幾何的概念融入傳統的PCA，其核心思想是將待研究的復雜系統映射到辛空間中，并挖掘蘊藏在數據中的主要特征。在辛空間中，數據間的相互作用主要集中在前幾個主要成分中，而剩余成分為冗余特征或噪聲成分。與歐氏幾何不同，辛幾何是一種具有非線性辛結構的偶數維幾何，能夠充分反映復雜系統的動態信息。

給定一維時間序列x={x（1），x（2），…，x（l）}，其中l為時間序列的長度。根據Taken嵌入理論，可通過相空間重構將時間序列x重構為多維軌跡矩陣X：

其中，k為嵌入維度，τ為延遲時間，m=l－（k－1）τ。本文同樣采用改進偽近鄰點［20］方法和互信息函數［21］自適應地確定最優的k和τ。軌跡矩陣X中包含豐富的系統動態信息，SPCA采用辛相似變換以保持系統動態結構不變，并在辛空間中更好地刻畫系統的幾何信息。傳統PCA主要采用SVD尋找系統中的主要成分，而SPCA是利用辛相似變換挖掘數據的主要特征。

首先，將軌跡矩陣X映射到辛空間，并構造其Hamilton矩陣：

其中，A=XTX為X的自相關矩陣。然后采用辛相似變化獲取Hamilton矩陣U的特征值，具體過程如下：

（1）令V=U2，即

（2）構造一辛矩陣G，使其滿足

其中，B為上Hessenberg矩陣，其元素bij=0（i>j+1）。當G為辛Household矩陣P時，由于V為實對稱矩陣，矩陣V等價于矩陣U，故式（4）可改寫為

式中，Q為稀疏載荷矩陣。

（3）利用辛QR算法獲取矩陣B的特征值λ（B）={λ1，λ2…，λk}。值得注意的是，由于V為實對稱矩陣，故A和B的特征值相等，即

（4）將特征值λ={λ1，λ2…，λk}按從大到小排序：

λ1>λ2>…λj≥λj+1≥…≥λk（7）

其中，λ為矩陣A的辛特征值，反映了系統在辛空間中不同方向上的能量分布，且能量主要集中在前j個方向上，而λi（i=j+1，j+2，…，k）代表數據中的噪聲水平。本文選取能量占比為90%的前j個辛特征值作為旋轉機械的敏感故障特征：

2 單分類超圓盤

在單分類問題中，通常將已知的某一類樣本稱為負類樣本，其他未知類別樣本稱為正類樣本。單分類超圓盤OCHD采用超圓盤模型評估已知負類樣本的類別分布，并將原點視為正類樣本，尋找一分類超平面f（z）=〈w，z〉－b，以分離超圓盤模型和原點。從幾何的角度來看，OCHD的分類超平面f（z）由超圓盤上距離原點最近點決定：f（z）通過該最近點，并垂直于最近點與原點的連線。圖1詳細描繪了OCHD的分類原理。對于待測樣本z～，若f（z～）≥0，說明該樣本位于超圓盤一側，為負類樣本；若f（z～）<0，說明z～位于原點一側，為正類樣本。

假設有已知樣本集Z={zi}ni=1，其中zi∈Rd，n為樣本的個數。該樣本集的超圓盤模型可表示為

其中，r、c分別表示超圓盤模型的半徑和中心；βi為第i個樣本的組合系數。OCHD的核心是確定超圓盤模型上距離原點最近點，因此，其目標函數可表示成以下最小模問題：

在求解式（10）之前，需先求解r和c：

其中，γ為平衡參數，用于控制模型復雜度。式（11）的拉格朗日函數可表示成

其中，θi、αi為拉格朗日乘子。分別對r、c和ζi求偏導：

則式（12）可簡化為

式（14）是一個典型的QP問題，本文采用標準的QP求解方法獲得其最優解θ1，θ2，…，θ*n，則超圓盤模型的中心c和半徑r可表示為

將式（15）代入OCHD模型的目標函數，即式（10），并將其展開可得

式（16）是一個標準的QCQP問題，本文采用MOSEK求解器獲取其最優解β*1，β*2，…，β*n，則OCHD分類超平面的法向量w和偏置b可表示為

OCHD同樣可使用核技巧，即采用核函數將低維特征映射到高維Hilbert空間，以提高模型的非線性處理能力。由于高斯核函數k（zi，zj）=〈φ（zi），φ（zj）〉具有良好的泛化性和普適性，故本文采用該核函數代替向量內積〈zi，zj〉：

k（zi，zj）=exp（－‖zi－zj‖/（2δ2））（18）

式中，δ為高斯核參數。

3 基于SPCA和OCHD的故障檢測流程

本文提出了一種基于SPCA和OCHD的旋轉機械微弱故障檢測方法，SPCA用于提取振動信號的辛特征值，作為機械故障的敏感特征，OCHD用于智能檢測設備是否發生故障。所提智能故障檢測方法的流程圖見圖2，其核心步驟如下：

（1）采集旋轉機械從正常運行到最終失效的全壽命樣本數據，選取部分正常運行狀態的樣本用于訓練，剩余樣本用于測試。

（2）對于每一個樣本，采用SPCA將其映射到辛空間，并提取能量占比超過90%的辛特征值構成機械故障的特征向量。

（3）計算每一個辛特征值的均值和方差，并將特征歸一化。

（4）采用訓練樣本構建OCHD模型，并獲得OCHD的分類超平面。

（5）利用剩余樣本測試OCHD模型，并對實驗結果分析處理，以驗證所提故障檢測方法的有效性。

4 實驗驗證

4.1 數據集介紹

采用滾動軸承全壽命周期數據對所提智能故障檢測方法進行實驗驗證，數據集來源于辛辛那提大學智能維護系統（intelligent maintenance systems，IMS）中心［22］，實驗裝置如圖3所示。實驗過程中，軸承1～4均為Rexnord ZA-2115型雙列軸承，軸承的具體參數見表1。在每個軸承基座上設置一個PCB 353B33型加速度傳感器，以采集系統運行過程中的振動信號。軸承所在軸的轉速穩定在2000 r/min，并通過彈簧裝置向轉軸施加26.66 kN的徑向載荷。采用NI DAQ Card 6062E型采集裝置拾取該實驗裝置的振動信號，采樣頻率為20 kHz，采樣間隔為10 min，每次采集的數據長度為20480個振動點。軸承全壽命周期實驗用時164 h，共產生982組數據（排除最后兩組失真數據）。實驗后期，軸承1外圈出現明顯故障，因此本文采用軸承1上的振動信號進行實驗分析?；诒?，可以計算得到軸承內圈、滾動體、外圈和保持架的故障特征頻率分別為296.9 Hz、139.9 Hz、236.4 Hz和14.8 Hz。各故障特征頻率的計算公式詳見文獻［22］。

首先，采用SPCA算法對軸承全壽命周期數據進行分析，獲取能量占比超過90%的辛特征值作為軸承故障的敏感特征。實驗結果表明，每組振動數據的前15個辛特征值的能量占比均超過90%，因此本文選取每組數據的前15個辛特征值作為特征向量，最終形成大小為982×15的全壽命周期特征矩陣，特征選擇結果如圖4所示。

然后，將全壽命周期的前100組數據視為軸承正常運行的數據，采用前100組數據訓練OCHD模型，并使用剩余的數據驗證模型的故障檢測性能。在OCHD模型的構建過程中，利用5折交叉驗證方法確定其最優結構參數，即平衡參數和高斯核參數。此外，為了驗證所提OCHD模型的優越性，引入SVDD、OCSVM、OCCCH三個經典的單分類模型進行對比分析。為了保證對比結果的公平性，各對比模型的最優參數也同樣采用5折交叉驗證方法確定。對于OCHD、OCSVM和OCCCH模型，直接將－f（z）作為軸承狀態的評價指標；而對于SVDD模型，取樣本到超球體模型中心的廣義距離作為評價指標。因此，各模型的故障報警閾值都統一設置為零。當一個樣本的評價指標為正數時，該樣本將判定為故障樣本。

各模型的故障檢測結果如圖5所示。由圖5a可以看出，OCHD模型的評價指標在第533組樣本之前都低于故障報警閾值，而從第533組樣本開始，

評價指標超過故障報警閾值，并且報警一直持續到軸承壽命加速實驗結束。

同理，由圖5b～圖5d可知，SVDD、OCSVM和OCCCH模型也是從第533組數據開始，評價指標持續超過報警閾值。為了驗證軸承是否是從第533組數據開始出現故障，對第532組、533組、550組和600組數據進行包絡譜分析，分析結果如圖6所示。

圖6a中沒有明顯的軸承故障特征頻率，說明此時軸承正常運行。由圖6b可以看出，第533組數據的包絡譜在230.7 Hz處有明顯的譜峰，且該頻率與軸承外圈故障特征頻率極其相近，因此可以斷定此時軸承出現了微弱的外圈故障。此外，由圖6c和圖6d可以看出，第550組和第600組數據的包絡譜中出現了明顯的近似故障特征頻率及其倍頻，且隨著軸承壽命加速實驗的繼續，特征頻率及其倍頻的幅值也越來越大，這說明軸承狀態在持續惡化。

綜上，軸承在533組數據之前都運行狀態良好，但從第533組數據開始出現了外圈故障?；诖私Y論，再次觀察圖5可知，SVDD、OCSVM和OCCCH模型在第533組數據之前都產生了不同程度的誤報警，而所提OCHD模型無任何誤報警，因此其檢測精度達到100%。與之相應，SVDD、OCSVM和OCCCH的檢測精度分別為98.75%、98.64%和98.98%。實驗結果表明，所提OCHD模型能夠準確檢測軸承微弱故障，且相較于其他單分類模型，其故障檢測性能更為優異。此外，所有模型都采用辛特征值作為軸承敏感故障特征，并且檢測精度都超過98.5%，這也從側面反映了辛特征值能夠準確表征軸承性能退化狀態。

為了研究所提模型在噪聲環境下的魯棒性，分別在原始振動信號中添加-2～2 dB的高斯白噪聲，不同噪聲程度下各模型的故障檢測結果見表2?？梢钥闯?，OCHD模型在每種噪聲程度下都取得了最高的故障檢測精度，甚至在強背景噪聲（-2 dB）下，其檢測精度仍達92.75%，這進一步證明所提方法能夠有效檢測旋轉機械早期微弱故障。

為了驗證各模型在較少訓練樣本下的故障檢測性能，分別選用前20、40、60和80組數據訓練各單分類模型，并使用剩余數據測試模型性能。不同訓練樣本下OCHD模型的故障檢測結果見圖7。可以看出，隨著訓練樣本的增加，所提OCHD模型的診斷性能逐漸提高，直到訓練樣本為80時，故障檢測精度達到100%。另外，不同訓練樣本下各模型的故障檢測精度見表3。

由表3可以看出，所提OCHD模型在每種訓練樣本情況下都取得了最高的故障檢測精度。在訓練樣本個數僅為20時，OCHD模型的檢測精度為97.40%，明顯高于其他單分類模型。此外，

當訓練樣本個數超過40時，OCHD模型的檢測精度穩定在99%以上，這也再次驗證了該模型在小樣本情況下具有良好的故障檢測性能。

4 結論

（1）SPCA在辛空間對振動信號進行分析處理，能夠保持原始數據的結構信息，消除冗余特征和噪聲成分，因此，所提取的辛特征值能夠準確表征軸承性能退化狀態。

（2）相較于其他單分類模型，所提OCHD模型采用超圓盤模型估計已知樣本的類別分布，提供了更合適的樣本邊界，因而在理論上具有更優異的單分類性能。實驗結果表明，OCHD具有更高的故障檢測精度，且在小樣本情況下，該模型的性能優勢更加明顯。

參考文獻：

［1］ 楊路航，李寶慶，王平，等.基于概率輸出彈性凸包的滾動軸承故障診斷方法［J］.中國機械工程，2021，32（1）：40-46.

YANG Luhang， LI Baoqing， WANG Ping， et al. Fault Diagnosis Method of Rolling Bearings Based on Probability Output Flexible Convex Hull［J］. China Mechanical Engineering， 2021，32（1）：40-46.

［2］ 余浩帥， 湯寶平， 張楷， 等.小樣本下混合自注意力原型網絡的風電齒輪箱故障診斷方法［J］.中國機械工程， 2021， 32（20）：2475-2481.

YU Haoshuai， TANG Baoping， ZHANG Kai， et al. Fault Diagnosis Method of Wind Turbine Gearboxes Mixed with Attention Prototype Networks under Small Samples［J］. China Mechanical Engineering， 2021，32（20）：2475-2481.

［3］ QIAO Z， LEI Y， LI N. Applications of Stochastic Resonance to Machinery Fault Detection：a Review and Tutorial［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2019， 122：502-536.

［4］ 趙志宏， 李樂豪， 楊紹普， 等. 一種無監督的軸承健康指標及早期故障檢測方法［J］. 中國機械工程， 2022， 33（10）：1234-1243.

ZHAO Zhihong， LI Lehao， YANG Shaopu， et al. An Unsupervised Bearing Health Indicator and Early Fault Detection Method［J］. China Mechanical Engineering， 2022， 33（10）：1234-1243.

［5］ LEI M， MENG G， DONG G. Fault Detection for Vibration Signals on Rolling Bearings Based on the Symplectic Entropy Method［J］. Entropy， 2017， 19（11）：607.

［6］ CHENG J， YANG Y， LI X， et al. An Early Fault Diagnosis Method of Gear Based on Improved Symplectic Geometry Mode Decomposition［J］. Measurement， 2020， 151：107140.

［7］ PAN H， YANG Y， LI X， et al. Symplectic Geometry Mode Decomposition and Its Application to Rotating Machinery Compound Fault Diagnosis［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2019， 114：189-211.

［8］ 鄭直，高崇一，宋金超，等.基于SGMD敏感參數和KFCMC的滾動軸承故障診斷方法［J］.機床與液壓，2020，48（11）：189-193.

ZHENG Zhi， GAO Chongyi， SONG Jinchao， et al. Fault Diagnosis Method of Rolling Bearings Based on SGMD Sensitive Parameters and KFCMC［J］. Machine Tool ＆ Hydraulics，2020，48（11）：189-193.

［9］ LI X， YANG Y， SHAO H， et al. Symplectic Weighted Sparse Support Matrix Machine for Gear Fault Diagnosis［J］. Measurement， 2021， 168：108392.

［10］ LEI M， MENG G. Symplectic Principal Component Analysis：a New Method for Time Series Analysis［J］. Mathematical Problems in Engineering， 2011， 2011：793429.

［11］ HEJAZI M， SINGH Y P. One-class Support Vector Machines Approach to Anomaly Detection［J］. Applied Artificial Intelligence， 2013， 27（5）：351-366.

［12］ ZHANG F， FAN H， WANG R， et al. Deep Dual Support Vector Data Description for Anomaly Detection on Attributed Networks［J］. International Journal of Intelligent Systems， 2022， 37（2）：1509-1528.

［13］ FERNNDEZ-FRANCOS D， FONTENLA-ROMERO， ALONSO-BETANZOS A. One-class Convex Hull-based Algorithm for Classification in Distributed Environments［J］. IEEE Transactions on Systems， Man， and Cybernetics：Systems， 2017， 50（2）：386-396.

［14］ FERNNDEZ-FRANCOS D， MARTNEZ-REGO D， FONTENLA-ROMERO O， et al. Automatic Bearing Fault Diagnosis Based on One-class ν-SVM［J］. Computers & Industrial Engineering， 2013， 64（1）：357-365.

［15］ SAARI J， STRMBERGSSON D， LUNDBERG J， et al. Detection and Identification of Windmill Bearing Faults Using a One-class Support Vector Machine （SVM）［J］. Measurement， 2019， 137：287-301.

［16］ SHIN H J， EOM D H， KIM S S. One-class Support Vector Machines—an Application in Machine Fault Detection and Classification［J］. Computers & Industrial Engineering， 2005， 48（2）：395-408.

［17］ WANG Q， LIU X， WEI B， et al. Online Incipient Fault Detection Method Based on Improved 1 Trend Filtering and Support Vector Data Description［J］. IEEE Access， 2021， 9：30043-30059.

［18］ ZENG M， YANG Y， LUO S， et al. One-class Classification Based on the Convex Hull for Bearing Fault Detection［J］. Mechanical Systems and Signal Processing， 2016， 81：274-293.

［19］ NEZ I， JOVE E， CASTELEIRO-ROCA J L， et al. Hybrid Approximate Convex Hull One-class Classifier for an Industrial Plant［C］∥Computational Intelligence in Security for Information Systems Conference. Cham， 2019：282-292.

［20］ YI J， WU L， ZHOU W， et al. ASparse Dimensionality Reduction Approach Based on False Nearest Neighbors for Nonlinear Fault Detection［J］. IEEE Transactions on Systems， Man， and Cybernetics：Systems， 2019， 51（8）：4980-4992.

［21］ SONG X， ZHANG Y， GONG D， et al. FeatureSelection Using Bare-bones Particle Swarm Optimization with Mutual Information［J］. Pattern Recognition， 2021， 112：107804.

［22］ INCE T， MALIK J， DEVECIOGLU O C， et al. EarlyBearing Fault Diagnosis of Rotating Machinery by 1d Self-organized Operational Neural Networks［J］. IEEE Access， 2021， 9：139260-139270.