數學滲透于中國古代文化的方方面面

□文/孫明源

春秋時期戰車復原圖。中國古人不僅能利用數學觀天測地，還能將數學應用于技術創造

從《易經》中二進制的濫觴、《老子》中三進制的創立，到《九章算術》中對于零、正負數的運算等，直至“宋元四杰”將變量引進數學，中國古代數學達到高峰期……在中國古代著作中，常常可以窺見現代數學思想的萌芽。各國學者近百年來的研究成果表明，中國傳統數學是世界數學主流極其重要的一部分。而且，數學和國學也并非沒有交集。

“國學不僅有人文國學，還有數學國學、科技國學。”中國科學院院士、中國科學院數學與系統科學研究院研究員周向宇認為，如果說國學代表古代中國人的精神世界，那么這個世界不應只是文史哲的專場，數學也是國學的一部分。

古中國已有數學符號的萌芽

加減乘除等運算符號、從0 到9 的數字符號是現在每個孩童走近數學的路標，也是現代科學文明的“通行文字”。但是，這些符號的發明和傳播有著一個漫長而曲折的歷史過程，其背后的思想尤為重要。

周向宇指出，人類早期文明遇到的計數問題與運算問題，即如何用少量簡潔的符號表示所有數以及如何方便靈活地用它們進行計算。

我國先以結繩、后以書契計數，在商代已有十進制的萌芽，甲骨文中所記載的最大數字已達3 萬多，符號復雜。西周時期，十進制得到了進一步的發展。作為“君子六藝”之一，數學教育始于西周，至春秋戰國時期，籌算已經盛行開來。中國古代創立了以籌計數的十進位值制思想，除了賦予每個符號一個絕對的值，還給不同的位置賦予不同的符號，從思想層面解決了計數問題。這種思想反映了使用符號的思想，一直影響至今。成書于約公元4 世紀的《孫子算經》清晰記載了十進位值制算籌計數法。

中國古代還引進了負數，使小數可以減大數，并引入正負數的運算規律，即正負術。《九章算術》對此有明確記載。方程術、求解線性方程組、算π、求根、多項式方程數值解、天元術等，都是中國古代在代數學方面的貢獻。

實現抽象與具象的融合

《易經》中有一句話：“探賾索隱，鉤深致遠。”周向宇認為，雖然中國古代沒有“科學”一詞，但是《易經》中的這8 個字就可以將科學的真諦概括其中。

在《周髀算經》中，周公問商高：“夫天不可階而升，地不可得尺寸而度，請問數安從出？”意思是，天沒有階梯可以攀登，地沒有尺子可以度量，請問有什么辦法可以知道天之高、地之廣？商高說：“數之法，出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。”也就是說，可以通過方和圓的關系來進行探究。隨后，商高提出折矩思想、勾股定理的證明。周公聽后，由衷贊嘆：“大哉言數。”周向宇認為，這些思想體現了數學的辯證內涵，也表明了中國古代數學是抽象與具象的融合。

“中國古代數學早有變化和運動的思想，與《易經》研究變化的思想一脈相承，如商高的‘環而共盤’思想，商高、趙爽的‘形詭而量均，體殊而數齊’之‘形體不變量’思想；中國古代數學還有無窮和極限思想，如惠子的萬世不竭說與墨子的非半弗斫說，就是關于不竭、無窮與竭、極限的思想，這些正是幾何、微積分等現代數學領域的基本思想。”周向宇說。

古代數學不只是應用的學問

中國古代科學技術具有高度的實用性，數學也不例外。

比如，《史記·夏本紀》中有記載，禹“左準繩，右規矩，載四時，以開九州，通九道，陂九澤，度九山”，意思是禹隨身帶著測平直的準平與繩墨、畫圖用的圓規與矩尺，以及裝載測定時令的儀器，用來開辟九州的土地，打通九州的道路，修筑九州的堤壩，測量九州的山岳。古人還會用圓方、圭表觀測天象判定節氣，并通過觀察日出和日影推算節歷、時間。

再比如，中國古代造車鼻祖奚仲用規矩造車；至西周時期，造車技術又有了長足的進步，規矩、準繩的使用到了非常嫻熟的地步；魯班會利用準繩設計建造建筑。這些例子說明，中國古人不僅能利用數學觀天測地，還能將數學應用于技術創造。

周向宇認為，中國古代數學“言約旨遠”——言辭簡約，意思深遠，既有理論數學，也有應用數學，內涵非常豐富。

從勾股定理來看，該定理的發現和證明經歷了從先民們的長期實踐到西周商高的理論證明。周向宇去年發表的論文，解決了商高證明陳述中“既”的含義問題及如何斷句的問題，復原了商高的勾股定理證明，說明正是商高開啟了命題證明。這些發展歷程不僅表明中國古代數學兼具理論性和實用性，還說明其發展是系統的，而非零散的簡單堆砌。周向宇指出，中國古代數學實際上已經有了數形結合、代數幾何化、幾何代數化的思想。

數學與人文思想相互嵌合

談及人文經典中的數學思想，周向宇最愛舉的例子之一是《愚公移山》。

“雖我之死，有子存焉；子又生孫，孫又生子；子又有子，子又有孫；子子孫孫無窮匱也，而山不加增，何苦而不平？”周向宇認為，經過數學語言的釋讀，可以發現這句話里蘊含著自然數的概念及其無窮性、實數理論中的阿基米德原理。《易經》中的二進制、《老子》中的三進制，也反映了中國古代的數學思想。

在很多古代著作當中，數學表達并不隱晦。例如，《孟子·離婁章句上》曰：“不以規矩，不能成方圓……不以仁政，不能平治天下。”《禮記·經解》曰：“禮之于正國也，猶衡之于輕重也，繩墨之于曲直也，規矩之于方圓也。”

今天還在使用的“運籌帷幄”“一籌莫展”等成語，耳熟能詳的“以法律為準繩”等，都與數學有關。

周向宇指出，事實上，中國文化從根基上對數學是推崇的，古代先賢的作品常用數學命題來闡釋人文思想，而《管子》《孟子》《墨子》《荀子》《韓非子》《貞觀政要》等古代名著也常常引入數學表達，體現了深刻的數學思想與人文思想的融合。

“中國文化推崇的嚴謹、嚴格、嚴密、準確、精確，不正是數學的特質嗎？這也是數學滲透于中國古代文化各方各面的一種體現。中國古代數學思想博大精深，對華夏文明作出過重要貢獻，對現代數學也有源頭性、根本性的貢獻。”周向宇評論說。

周向宇師承陸啟鏗，陸啟鏗是華羅庚歸國后收的首批親傳弟子之一。華羅庚先生曾說：“數學是我國人民所擅長的學科。”這句話常被周向宇掛在嘴邊。

“中華優秀傳統文化既包含人文國學，也包含數學國學、科技國學，是時候重視了。”周向宇說。

《愚公移山》故事畫