數(shù)學(xué)滲透于中國古代文化的方方面面

□文/孫明源

春秋時期戰(zhàn)車復(fù)原圖。中國古人不僅能利用數(shù)學(xué)觀天測地，還能將數(shù)學(xué)應(yīng)用于技術(shù)創(chuàng)造

從《易經(jīng)》中二進(jìn)制的濫觴、《老子》中三進(jìn)制的創(chuàng)立，到《九章算術(shù)》中對于零、正負(fù)數(shù)的運(yùn)算等，直至“宋元四杰”將變量引進(jìn)數(shù)學(xué)，中國古代數(shù)學(xué)達(dá)到高峰期……在中國古代著作中，常常可以窺見現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想的萌芽。各國學(xué)者近百年來的研究成果表明，中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)是世界數(shù)學(xué)主流極其重要的一部分。而且，數(shù)學(xué)和國學(xué)也并非沒有交集。

“國學(xué)不僅有人文國學(xué)，還有數(shù)學(xué)國學(xué)、科技國學(xué)。”中國科學(xué)院院士、中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院研究員周向宇認(rèn)為，如果說國學(xué)代表古代中國人的精神世界，那么這個世界不應(yīng)只是文史哲的專場，數(shù)學(xué)也是國學(xué)的一部分。

古中國已有數(shù)學(xué)符號的萌芽

加減乘除等運(yùn)算符號、從0 到9 的數(shù)字符號是現(xiàn)在每個孩童走近數(shù)學(xué)的路標(biāo)，也是現(xiàn)代科學(xué)文明的“通行文字”。但是，這些符號的發(fā)明和傳播有著一個漫長而曲折的歷史過程，其背后的思想尤為重要。

周向宇指出，人類早期文明遇到的計數(shù)問題與運(yùn)算問題，即如何用少量簡潔的符號表示所有數(shù)以及如何方便靈活地用它們進(jìn)行計算。

我國先以結(jié)繩、后以書契計數(shù)，在商代已有十進(jìn)制的萌芽，甲骨文中所記載的最大數(shù)字已達(dá)3 萬多，符號復(fù)雜。西周時期，十進(jìn)制得到了進(jìn)一步的發(fā)展。作為“君子六藝”之一，數(shù)學(xué)教育始于西周，至春秋戰(zhàn)國時期，籌算已經(jīng)盛行開來。中國古代創(chuàng)立了以籌計數(shù)的十進(jìn)位值制思想，除了賦予每個符號一個絕對的值，還給不同的位置賦予不同的符號，從思想層面解決了計數(shù)問題。這種思想反映了使用符號的思想，一直影響至今。成書于約公元4 世紀(jì)的《孫子算經(jīng)》清晰記載了十進(jìn)位值制算籌計數(shù)法。

中國古代還引進(jìn)了負(fù)數(shù)，使小數(shù)可以減大數(shù)，并引入正負(fù)數(shù)的運(yùn)算規(guī)律，即正負(fù)術(shù)。《九章算術(shù)》對此有明確記載。方程術(shù)、求解線性方程組、算π、求根、多項式方程數(shù)值解、天元術(shù)等，都是中國古代在代數(shù)學(xué)方面的貢獻(xiàn)。

實現(xiàn)抽象與具象的融合

《易經(jīng)》中有一句話：“探賾索隱，鉤深致遠(yuǎn)。”周向宇認(rèn)為，雖然中國古代沒有“科學(xué)”一詞，但是《易經(jīng)》中的這8 個字就可以將科學(xué)的真諦概括其中。

在《周髀算經(jīng)》中，周公問商高：“夫天不可階而升，地不可得尺寸而度，請問數(shù)安從出？”意思是，天沒有階梯可以攀登，地沒有尺子可以度量，請問有什么辦法可以知道天之高、地之廣？商高說：“數(shù)之法，出于圓方，圓出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。”也就是說，可以通過方和圓的關(guān)系來進(jìn)行探究。隨后，商高提出折矩思想、勾股定理的證明。周公聽后，由衷贊嘆：“大哉言數(shù)。”周向宇認(rèn)為，這些思想體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的辯證內(nèi)涵，也表明了中國古代數(shù)學(xué)是抽象與具象的融合。

“中國古代數(shù)學(xué)早有變化和運(yùn)動的思想，與《易經(jīng)》研究變化的思想一脈相承，如商高的‘環(huán)而共盤’思想，商高、趙爽的‘形詭而量均，體殊而數(shù)齊’之‘形體不變量’思想；中國古代數(shù)學(xué)還有無窮和極限思想，如惠子的萬世不竭說與墨子的非半弗斫說，就是關(guān)于不竭、無窮與竭、極限的思想，這些正是幾何、微積分等現(xiàn)代數(shù)學(xué)領(lǐng)域的基本思想。”周向宇說。

古代數(shù)學(xué)不只是應(yīng)用的學(xué)問

中國古代科學(xué)技術(shù)具有高度的實用性，數(shù)學(xué)也不例外。

比如，《史記·夏本紀(jì)》中有記載，禹“左準(zhǔn)繩，右規(guī)矩，載四時，以開九州，通九道，陂九澤，度九山”，意思是禹隨身帶著測平直的準(zhǔn)平與繩墨、畫圖用的圓規(guī)與矩尺，以及裝載測定時令的儀器，用來開辟九州的土地，打通九州的道路，修筑九州的堤壩，測量九州的山岳。古人還會用圓方、圭表觀測天象判定節(jié)氣，并通過觀察日出和日影推算節(jié)歷、時間。

再比如，中國古代造車鼻祖奚仲用規(guī)矩造車；至西周時期，造車技術(shù)又有了長足的進(jìn)步，規(guī)矩、準(zhǔn)繩的使用到了非常嫻熟的地步；魯班會利用準(zhǔn)繩設(shè)計建造建筑。這些例子說明，中國古人不僅能利用數(shù)學(xué)觀天測地，還能將數(shù)學(xué)應(yīng)用于技術(shù)創(chuàng)造。

周向宇認(rèn)為，中國古代數(shù)學(xué)“言約旨遠(yuǎn)”——言辭簡約，意思深遠(yuǎn)，既有理論數(shù)學(xué)，也有應(yīng)用數(shù)學(xué)，內(nèi)涵非常豐富。

從勾股定理來看，該定理的發(fā)現(xiàn)和證明經(jīng)歷了從先民們的長期實踐到西周商高的理論證明。周向宇去年發(fā)表的論文，解決了商高證明陳述中“既”的含義問題及如何斷句的問題，復(fù)原了商高的勾股定理證明，說明正是商高開啟了命題證明。這些發(fā)展歷程不僅表明中國古代數(shù)學(xué)兼具理論性和實用性，還說明其發(fā)展是系統(tǒng)的，而非零散的簡單堆砌。周向宇指出，中國古代數(shù)學(xué)實際上已經(jīng)有了數(shù)形結(jié)合、代數(shù)幾何化、幾何代數(shù)化的思想。

數(shù)學(xué)與人文思想相互嵌合

談及人文經(jīng)典中的數(shù)學(xué)思想，周向宇最愛舉的例子之一是《愚公移山》。

“雖我之死，有子存焉；子又生孫，孫又生子；子又有子，子又有孫；子子孫孫無窮匱也，而山不加增，何苦而不平？”周向宇認(rèn)為，經(jīng)過數(shù)學(xué)語言的釋讀，可以發(fā)現(xiàn)這句話里蘊(yùn)含著自然數(shù)的概念及其無窮性、實數(shù)理論中的阿基米德原理。《易經(jīng)》中的二進(jìn)制、《老子》中的三進(jìn)制，也反映了中國古代的數(shù)學(xué)思想。

在很多古代著作當(dāng)中，數(shù)學(xué)表達(dá)并不隱晦。例如，《孟子·離婁章句上》曰：“不以規(guī)矩，不能成方圓……不以仁政，不能平治天下。”《禮記·經(jīng)解》曰：“禮之于正國也，猶衡之于輕重也，繩墨之于曲直也，規(guī)矩之于方圓也。”

今天還在使用的“運(yùn)籌帷幄”“一籌莫展”等成語，耳熟能詳?shù)摹耙苑蔀闇?zhǔn)繩”等，都與數(shù)學(xué)有關(guān)。

周向宇指出，事實上，中國文化從根基上對數(shù)學(xué)是推崇的，古代先賢的作品常用數(shù)學(xué)命題來闡釋人文思想，而《管子》《孟子》《墨子》《荀子》《韓非子》《貞觀政要》等古代名著也常常引入數(shù)學(xué)表達(dá)，體現(xiàn)了深刻的數(shù)學(xué)思想與人文思想的融合。

“中國文化推崇的嚴(yán)謹(jǐn)、嚴(yán)格、嚴(yán)密、準(zhǔn)確、精確，不正是數(shù)學(xué)的特質(zhì)嗎？這也是數(shù)學(xué)滲透于中國古代文化各方各面的一種體現(xiàn)。中國古代數(shù)學(xué)思想博大精深，對華夏文明作出過重要貢獻(xiàn)，對現(xiàn)代數(shù)學(xué)也有源頭性、根本性的貢獻(xiàn)。”周向宇評論說。

周向宇師承陸啟鏗，陸啟鏗是華羅庚歸國后收的首批親傳弟子之一。華羅庚先生曾說：“數(shù)學(xué)是我國人民所擅長的學(xué)科。”這句話常被周向宇掛在嘴邊。

“中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化既包含人文國學(xué)，也包含數(shù)學(xué)國學(xué)、科技國學(xué)，是時候重視了。”周向宇說。

《愚公移山》故事畫