基于錯位塔形工件的旋轉軸幾何誤差辨識

程 濤， 項四通*， 張海南， 楊建國

（1. 寧波大學 機械工程與力學學院，浙江 寧波 315211；2. 上海交通大學 機械與動力工程學院，上海 200240）

1 引 言

五軸機床作為工業母機，廣泛應用于航空、航天和國防等領域。作為五軸機床的重要零部件，旋轉軸在裝配與制造過程中，存在4 項與位置無關的幾何誤差（Position-Independent Geometric Error， PIGE）和6項與位置有關的幾何誤差（Position-Dependent Geometric Error， PDGE）［1］。上述誤差直接影響五軸加工精度，因此有必要進行辨識與補償［2］。

球桿儀［3］、R-test［4］、激光［5］與視覺類［6］設備常用于旋轉軸的誤差測量。其中，球桿儀操作簡單，通過圓軌跡可辨識出旋轉軸的幾何誤差。Seth 等［7］基于齊次坐標變換建立運動學模型，利用3 種不同的球桿儀安裝模式辨識旋轉軸8 項PIGE。郭世杰等［8］依據旋轉軸不同運動狀態下幾何誤差的影響因素，建立4 種球桿儀測量模式，辨識旋轉軸10 項PIGE。鄭華林等［9］采用區別建模方法，利用多種球桿儀測量策略并結合運動學模型迭代分離出旋轉軸的PIGE 與PDGE。球桿儀價格便宜且測量精度高，但因誤差耦合于圓軌跡，通常需設定巧妙的測量模式以便于誤差解耦。

ISO 230-1：2012［10］中提出了R-test 測量裝置，通過一次采樣即可獲得三維球體的球心坐標，可用于旋轉軸的誤差測量。阮大文等［11］基于R-Test 辨識了雙五軸系統中旋轉軸的安裝誤差與運動誤差。Pu 等［12］基于所提出的刀尖點坐標誤差建模與運動鏈傳動誤差建模兩種誤差建模方法，利用R-test 辨識了旋轉軸XYZ3 個方向上的體積誤差。相比于球桿儀，R-Test 可同樣連續測量機床誤差且效率更高，但設備成本高昂。

在激光類測量方法中，皮世威等［13］采用激光干涉儀對旋轉軸與直線軸聯動測量，實現了旋轉軸轉角誤差及重復轉角誤差的測量與補償。針對大型龍門機床，殷建等［5］利用激光跟蹤儀測量旋轉軸不同角度下靶鏡的位置，辨識出旋轉軸12項幾何誤差以及3 項垂直度誤差。對于小型機床，Deng［14］通過引入剛體運動約束，采用激光跟蹤干涉儀測量旋轉軸誤差，辨識得到旋轉軸的4項PIGE 與6 項PDGE。激光測量雖然精度高，但設備成本和對光要求較高，因此測量效率較低。

近年來，視覺測量常用于旋轉軸的誤差測量。Yin 等［6］以視覺測量為基礎，提出了一種用于辨識緊湊空間中運動的旋轉軸幾何誤差方法。Chen 等［15］基于視覺測量安裝于主軸上標靶的三維位移，辨識旋轉軸10 項PDGE。視覺測量具有非接觸、實時性與動態測量等優勢，在工業領域得到廣泛應用［16］。但相機與旋轉臺位置定位操作較為復雜，且對光源、環境等要求較高，因此測量精度難以保證［17］。

在機測量與數控系統具有良好的通信能力，可實現高效與自動化的測量［18］。基于工件切削的在機測量可真實地反映機床的加工精度［19］。ISO-10791-7：2014［20］中提出4 種工件，在加工中采用直線插補、圓插補與鉆孔等不同指令，基于加工后工件尺寸精度以檢查加工中心的整體性能。由中國成飛集團自主設計研發的“S”件目前已收錄于ISO-10791-7：2020［21］，可綜合評定五軸機床聯動加工的性能。Ibaraki 等［22］通過階梯形工件切削與在機測量，結合空間誤差模型推導出的誤差辨識模型，精確辨識出旋轉軸8 項PIGE。Jiang 等［23］利用激光位移傳感器代替在機測頭，通過切削工件辨識旋轉軸PIGE，同時通過預先辨識線性軸垂直度誤差以消除它對辨識結果的影響。利用工件切削與在機測量辨識機床誤差，能反映實際工況下的機床幾何誤差，該方法的測量成本較低，且辨識精度與效率較高。

本文設計并加工了一種錯位塔形工件，基于在機測量以辨識旋轉軸的6 項PDGE。在工件不同層級的底面與側面規劃在機測量測點，并基于空間誤差模型推導出每項誤差的辨識原理與解析解。工件在機床充分預熱后進行加工，機床線性軸幾何誤差已通過激光干涉儀進行預先辨識與補償，對旋轉軸誤差辨識結果的影響可以忽略不計。該錯位塔形工件設計方便，且每項誤差的辨識原理與辨識結果簡易，可辨識旋轉軸PDGE。

2 錯位塔形工件設計

2.1 工件設計

本文在XZRYBC 型雙轉臺五軸機床上開展研究，其運動鏈中的刀具鏈為T-Z-X-R，工件鏈為W-C-B-Y-R。以旋轉軸C軸為例，為辨識其PDGE 設計錯位塔形工件，具體尺寸如圖1（a）～1（b）所示。

圖1 錯位塔形工件Fig.1 Misaligned tower-shaped artefact

工件主體為三層錯位疊加的矩形塊，相鄰兩層矩形塊之間錯位30°。如圖1（c）～1（d）所示，對工件側面與底面以Si，j與Ui，j（i=1，2，3；j=1，2，3，4）進行命名，其中S與U分別表示工件的側面與底面，i表示層數，j表示同一層的4 個方向面。如圖1（c）所示，以第一層垂直于+Y軸的側面為第一個面，記為S1，1，以逆時針為正方向，依次為面S1，2，S1，3與S1，4。記第一層垂直于面S1，1的底面為U1，1，以逆時針為正方向，依次為面U1，2，U1，3與U1，4。其他層的側面與底面的命名以此類推。

2.2 工件優勢分析

與球桿儀［3］辨識PDGE 方法相比，球桿儀需經徑向、軸向與切向等多次安裝才能將旋轉軸誤差分離辨識。該方法所需步驟繁雜，且多次安裝時引入的多項安裝誤差對辨識結果的影響較大。所提出的錯位塔形工件切削測量方法，僅通過一次安裝便可完成后續辨識工作，降低了安裝誤差的影響。

R-Test［10］與激光跟蹤干涉儀［14］等專用測量設備價格昂貴，且操作技術要求較高，人工成本也相應上升。與所提出的方法相比，錯位塔形工件成本較低，且技術要求較低，適用于實際生產加工過程中的旋轉軸誤差辨識。

ISO-10791-7：2020［21］中提出了“S”件等5 種特征工件，采用特定的加工方式與三坐標測量模式，但此類工件主要用于評估機床的加工性能，無法用于辨識旋轉軸的單項運動誤差。

Ibaraki 等［22］提出了塔形工件用于辨識旋轉軸幾何誤差。如圖2 所示，以C軸為例，旋轉軸在0°，90°，180°與270°位置完成四層階梯的切削，將4 個角度位置的旋轉軸誤差反映至工件上，最終在三坐標測量機上完成測量。該工件僅在旋轉軸4 個角度位置進行加工，因此僅能反映0°，90°，180°與270°的旋轉軸誤差，無法反映更多角度位置。

圖2 Ibaraki 提出的塔形特征工件［22］Fig.2 Tower-shaped artefact proposed by Ibaraki［22］

與上述工件不同的是，本文對階梯進行錯位設計，相鄰兩層階梯之間依次同向錯位30°。通過工件切削與測量方法辨識誤差的前提是保證工件存在有效測量面，而錯位30°的設計則保證了旋轉軸每旋轉30°均有可用來測量的矩形特征面。一方面，同一矩形特征面可多次利用，增加矩形特征面的利用率；另一方面，共有13 個角度位置（0°，30°，…，360°）可反映旋轉軸誤差，相比于非錯位的塔形工件增加了旋轉軸誤差的采樣頻率。

2.3 工件在機測量

2.3.1 測點規劃

分別在Si，j與Ui，j面上沿工件坐標系X軸與Y軸方向布置測點，測點間距為3 mm。工件在機測量后，將側面測點擬合為l（Si，j），底面測點擬合為l（Ui，j）。在圖3 所示測點中，第一層側面底面測點的擬合線為l（S1，1）與l（U1，1）；第二層測點的擬合線為l（S2，1）與l（U2，1）；其他測點擬合線的命名以此類推。

圖3 工件在機測量的測點分布與擬合線示意圖Fig.3 Schematic diagram of measurement points distribution and fitting line of artefact on-machine measurement

2.3.2 在機測量

工件在C=0°時由線性軸聯動完成加工，待機床冷卻后進行在機測量。C軸由0°轉至360°，每轉30°測量平行于X和Y方向的側面與底面，整個過程共進行13 步測量，具體測量過程如圖4所示。

圖4 在機測量策略Fig.4 On-machine measurement strategy

如圖4（a）所示，當C=0°，90°，180°，270°與360°時，分別測量第一層中與X和Y方向平行的側面與底面。例如，C=0°時，測量側面S1，1與S1，4及底面U1，1與U1，4；C=90°時，測量側面S1，2與S1，1及底面U1，2與U1，1。其他角度以此類推。

如圖4（b）所示，當C=30°，120°，210°與300°時，分別測量第二層中與X和Y方向平行的側面與底面。例如，C=30°時，測量側面S2，1與S2，4及底面U2，1與U2，4；C=120°時，測量側面S2，2與S2，1及底面U2，2與U2，1。其他角度以此類推。

如圖4（c）所示，當C=60°，150°，240°與330°時，分別測量第三層中與X和Y方向平行的側面與底面。例如，C=60°時，測量側面S3，1與S3，4及底面U3，1與U3，4；C=150°時，測量側面S3，2與S3，1及底面U3，2與U3，1。其他角度以此類推。

3 旋轉軸PDGE 辨識

3.1 誤差定義與建模

根據ISO-230-1［10］，旋轉軸C軸的6 項PDGE如表1 所示。

表1 C 軸的6 項PDGETab.1 Six PGDE for C-axis

在工件加工及測量過程中，B軸固定于0°位置不動，建立C軸6 項PDGE 影響下的五軸機床空間誤差模型，如下：

式中：與分別表示理想狀態與實際狀態下刀具坐標系相對于工件坐標系的空間位置，ΔP與ΔO分別為位置與姿態誤差。

將位置誤差ΔP（Px（θ），Py（θ），Pz（θ））與方向誤差ΔO（Ox（θ），Oy（θ），Oz（θ））展開，如下：

式中：θ為C軸轉動角度，x，y與z為工件切削與測量時X軸、Y軸與Z軸的運動量。

3.2 PDGE 辨識原理

3.2.1 坐標系變換

如圖5 所示，C=0°時，工件坐標系（Workpiece Coordinate System， WCS）與機床坐標系（Machine Coordinate System， MCS）重合；在機測量時，工件隨C軸轉動角度θ（θ=30°，60°，…，360°），即WCS 相對于MCS 反向轉動θ。C=360°時，與C=0°的WCS 重合，因此共建立12 個WCS。

圖5 C 軸不同角度下的坐標系Fig.5 WCS at different angles of C-axis

將空間誤差測量值與理論值進行比較，可辨識出C軸的6 項PDGE。在不同WCS 下，基于在機測量可獲取側面與底面的測點數據，其測點擬合直線（l（Si，j），l（Ui，j））與理論面的距離與角度偏差，即空間誤差測量值。為計算不同WCS 下的空間誤差理論值，需對空間誤差模型作旋轉變換，將式（1）中的反轉θ，即乘以[R(ZM，θ)]-1，以獲得不同WCS 的空間誤差模型，即：

將式（3）代入空間誤差模型式（1）后，展開后得到不同WCS 下的空間誤差理論值，如下：

基于上述空間誤差測量值與理論值，可辨識出C軸的6 項PDGE。

3.2.2 辨識原理

在不同WCS 下對工件的側面與底面進行在機測量，通過比較在機測量的空間誤差測量值與理論值，可辨識出C軸的6 項PDGE，其辨識原理如圖6 所示。

圖6 PDGE 辨識原理Fig.6 PGDE identification principle

如圖6（a）所示，在XY平面上，以理論測點線l*（Si，j）為 基 準 ，與為實測點擬合線l（Si，j）相對于基準在X與Y方向上的實測距離偏差。其中，符號‖ ‖表示兩直線在X軸方向上的距離。同時，根據式（4）可計算出X與Y方向的理論距離偏差(θ) 與(θ)，由此得到辨識方程式如下：

類似地，如圖6（b）所示，在YZ平面上，以理論測點線l*（Ui，j）為基準，基于Z向實測距離偏差

如圖6（b）與6（d）所示，分別在XZ與YZ平面上，以理論測點線l*（Ui，j）為基準，與為實測擬合線相對于基準繞Y軸與X軸的實測角度偏差。其中，符號?表示兩直線夾角。同時，根據式（4）計算出理論角度偏差(θ)與可得辨識方程如下：

類似地，如圖6（c）所示，在XY平面上，以理論測點線l*（Si，j）為基準，可得繞Z軸的角度偏差該誤差僅由C軸的角度定位誤差ECC引起，故得辨識方程如下：

求解式（5）～式（8），可辨識出C軸全部6 項PDGE，其辨識解析式如下：

4 實 驗

4.1 工件加工與在機測量

實驗在一臺XZRYBC 型雙轉臺五軸機床上進行，機床放置于恒溫實驗室中，環境溫度控制在（20±0.5） ℃。加工前，首先對機床充分預熱，工件材料選用6061 鋁合金，刀具采用直徑為4 mm 的硬質合金平底銑刀，刀距設置為1.5 mm。

粗加工結束后，在開始精加工之前需對刀具重新標定，主軸帶動刀具進行預熱，每兩分鐘進行一次激光對刀，直至相鄰兩次對刀誤差控制在2 μm 以內。精加工采用高主軸轉速低進給率，主軸轉速為10 000 r/min，進給率為1 000 mm/m，確保加工面具有較好的表面質量。

加工完成后靜置機床4 h，待機床充分冷卻后，在不同C軸角度下對工件各層側面與底面進行在機測量。在機測量系統使用Marposs VOP40，其測頭直徑為2 mm，測桿長度為35 mm，重復精度為2 μm。工件的在機測量過程如圖7 所示，測量時長約20 min。由于測量時間較短，測量過程幾乎不受機床熱誤差的影響。

圖7 C 軸不同角度下的在機測量Fig.7 On-machine measurement at different angles of Caxis

4.2 辨識結果與驗證

C軸6 項PDGE 的辨識結果如圖8 所示。EXC總體在±40 μm 內，該誤差在C=270°時達到最大值22.8 μm；在C=90°時達到最小值-34.4 μm。EYC在［-26.8 μm，20.4 μm］內變化。EZC在［-3.5 μm，10.2 μm］內變化，較為平穩。角度誤差EAC與EBC的范圍分別為［-3.6″，4.6″］與［-6.7″，3.1″］，角度定位誤差ECC的范圍為［2.1″，25.8″］。

圖8 C 軸6 項PDGE 的辨識結果Fig.8 Identification results of 6 PDGE of C-axis

不確定性分析對于旋轉軸幾何誤差辨識至關重要，本研究通過蒙特卡洛模擬進行不確定性分析，以明確不確定因素對辨識結果的影響［24］。以EYC辨 識 為 例 ，實 測 距 離 偏 差可由S1，3面上隨機選取5 個測點擬合計算而得。選取不同的測點組合，重復此操作，將辨識結果的標準差視為不確定度（k=1），如圖8 中的誤差棒所示。

為驗證辨識結果的準確性，使用球桿儀進行驗證。如圖9 所示，分別在徑向、切向與軸向3 種測量模式［23］下各進行球桿儀測試以辨識C軸6 項PDGE。圖10 對比了球桿儀辨識與本辨識方法的結果。如圖10（a）所示，線性誤差EXC，EYC與EZC的辨識結果偏差分別在［-1.9 μm，2.7 μm］，［-1.7 μm， 1.5 μm］與［-1.3 μm，0.9 μm］之間；如圖10（b）所示，角度誤差EAC，EBC與ECC的辨識結果偏差分別在［-1.0″，1.3″］，［-0.6″，0.4″］與［-2.1″，1.8″］之間。兩者辨識結果的平均吻合度達95.4%，證實了本方法的準確性。

圖9 球桿儀辨識方法Fig.9 Identification method based on ball-bar

圖10 球桿儀對比實驗結果Fig.10 Comparison of test results between proposed method and ball-bar identification

5 結 論

本文提出了一種工件切削測量方法，可辨識旋轉軸的6 項PDGE。設計了一種錯位塔形工件，它由三層錯位疊加的矩形塊組成，工件特征簡單且加工測量方便。通過在工件不同層級的底面與側面布置在機測量測點，可求解出每項誤差的解析解，且辨識原理與辨識結果形式簡單。與現有的球桿儀辨識方法相比，線性誤差EXC，EYC與EZC的辨識結果偏差分別在［-1.9 μm，2.7 μm］，［-1.7 μm，1.5 μm］與［-1.3 μm，0.9 μm］之間；角度誤差EAC，EBC與ECC的辨識結果偏差分別在［-1.0″，1.3″］，［-0.6″，0.4″］與［-2.1″，1.8″］之間，辨識結果的吻合度達95.4%，證實了本方法的準確性。本辨識方法基于工件切削，可辨識實際工況下旋轉軸的6 項PDGE。