大肋骨間距不規則布置對圓柱殼振動傳遞控制作用研究

劉文璽，王曉瑋，唐永壯，呂曉軍，譚 路

(海軍工程大學 艦船與海洋學院,湖北武漢 430033)

0 引言

加肋圓柱殼是潛艇等水下航行器的基本結構，研究加肋圓柱殼的振動特性對于降低水下航行器的振動，提高水下潛器的隱蔽性在現代戰爭中顯得極為重要。

傳統的加肋圓柱殼結構的肋骨是等間距布置的，把相鄰2 個肋骨間環形殼板看作一個結構單元，那么，整個圓柱殼是由多個結構單元沿軸向依次連接構成的，這樣的結構可以稱為周期結構。在工程實際和理論研究中，周期性結構廣泛存在，如耦合振子鏈系統、耦合多跨梁、耦合質量擺模型、肋骨周期布置的加筋板等，學者們對周期結構的振動特性進行了大量的研究[1–2]，結果表明：周期結構整體振動幅值在某些頻帶較大，這些頻帶被稱為“通頻帶”，在通頻帶內，整體振動能量大；通頻帶之間為“止頻帶”。結構整體振動能量小，結構的通頻帶與止頻帶交替出現[3–4]。從振動控制的角度分析，振動能量在止頻帶不能遠距離傳播，被限制于激振源附近[5–6]。因此，為控制周期結構的振動，應盡可能使振動頻率處于止頻帶[7–8]。

對周期結構的結構單元進行不規則擾動，就形成非周期結構。由于非周期結構的結構單元是隨機、不規則分布，因此，結構波在傳播過程中會發生不規則反射[9]。當結構單元分布的不規則程度達到一定水平[10]，并且相鄰結構單元的耦合度等參數滿足一定條件，那么，無論是在通頻帶還是止頻帶，不規則反射會很明顯，能量會因反射作用而被限制于激振源附近。

對于非周期結構的一維振動，如耦合振子鏈系統、耦合多跨梁等的振動，從波動的角度看，這些模型都是一維波傳播模型，動力學表達比較簡單，主要采用解析法確定振動衰減程度[1,9]。對于非周期結構的二維振動以及其他復雜振動，如肋骨非周期布置的加筋板和加肋圓柱殼、封閉的不規則結構等的振動，主要采用數值模擬、模型試驗等方法進行研究。對圓柱殼，主要研究肋骨間距非周期布置對圓柱殼振動的控制作用。結果表明，肋骨位置的改變主要影響和控制結構在高頻的振動，對低頻振動的影響很小，其原因主要是肋骨間的結構波是短波，結構短波主要影響圓柱殼高頻振動[10–11]。然而，對實際的水下大型潛器，如潛艇等，需要降低結構的低頻振動[12]。

艙段間的結構波是長波，結構長波主要影響圓柱殼在低頻段的振動。因此，本文以前述肋骨非周期布置圓柱殼振動特性研究為基礎，用大肋骨將圓柱殼分成多個小段，并且各個小段軸向長度的布置是非周期的。研究大肋骨非周期布置圓柱殼的振動特性，以及通過將圓柱殼沿軸向分成多個軸向長度非周期分布的小段對長圓柱殼低頻振動的控制作用，為工程實際提供參考。

1 基本理論

1.1 非周期耦合振子鏈系統振動衰減計算方法

耦合振子鏈系統如圖1 所示，當耦合彈簧剛度kc=0時，各彈簧振子之間沒有耦合作用。各振子的質量均為m，第i個振子的對地彈簧剛度為ki=km+αi，αi是小量，表示各對地彈簧剛度在平均剛度km基礎上的變化量。當耦合彈簧剛度kc≠0時，用傳遞關系表示耦合振子鏈系統的動力關系[13]為：

圖1 耦合振子鏈系統Fig.1 Coupled oscillator chain system

或

式中：xi為第i個振子質量的位移復數幅值；ω為圓頻率；i為振子編號，i∈(-∞,+∞)，Xi=(xi-1,xi)T為第i個單元的狀態，它由第i-1個 振子和第i個振子的位移復數幅值共同表示，第i個單元的狀態通過狀態傳遞矩陣Ti變 換為第i+1個 單元的狀態Xi+1。

Kissel 等[13–15]對非周期耦合振子鏈系統的研究表明，當各對地彈簧剛度ki相同，即 αi=0，ki=km時，系統是周期系統。此時，當圓頻率 ω處于通頻帶內時，系統對輸入的能量能以不衰減的波的形式沿系統傳播，其中波數k和圓頻率 ω滿足如下關系式：

式中：ω0為解耦振子的固有頻率，V被稱為耦合系數，計算公式為，

其中，通頻帶頻率滿足

如果對地彈簧剛度受到不規則擾動，即 αi≠0，那么系統成為非周期系統。此時，系統對輸入系統的能量以指數衰減形式沿系統傳播。將第1 個振子的能量用e1表示，能量傳遞到第N個振子時變為eN，那么振動能量衰減率 γN可表示為：

式中，γN稱為振動能量衰減率，表示非周期系統中相鄰單元對輸入能量的的平均指數衰減率。當N→∞時，振動能量衰減率為[13–15]：

1.2 圓柱殼模型的振動等效參數

將加肋圓柱殼的徑向振動等效為耦合振子鏈的振動，獲得振動等效參數以及圓柱殼的振動能量衰減率計算公式。

首先，構造周期和非周期圓柱殼模型。

加肋圓柱殼模型如圖2 所示。用大肋骨將圖2 所示的模型沿軸向等分成盡量多的小段，本文取24 段，如圖3 所示。每個大肋骨的截面形狀和尺寸相同，如圖4 所示。圓柱殼的主尺度、板厚、環向肋骨及材料參數如表1 所示。

表1 圓柱殼模型主要尺度Tab.1 framed cylindrical shell model main dimensions

圖2 圓柱殼模型Fig.2 Ribbed cylindrical shell model

圖3 用大肋骨等分Fig.3 Devide into 20 equal parts by big frames

圖4 大肋骨截面形狀Fig.4 Big frame model

如圖3 所示，圓柱殼模型的相鄰大肋骨的間距l為常數，記作 ?l，?l=3.8 m。保持大肋骨數量不變，改變每個大肋骨的軸向位置，改變量是小量并使相鄰大肋骨之間的軸向距離分布是不規則的、隨機的。

改變量服從均勻概率分布，其中第g號大肋骨的軸向位置xg滿足概率密度函數：

式中：P(xg) 為隨機變量xg的概率密度函數；?x/2為大肋骨軸向位置的最大改變量，其具體取值是根據相鄰大肋骨之間的平均距離以及研究問題的需要等因素確定。相鄰大肋骨之間的軸向距離l=xg+1-xg是隨機變量，其平均值等于上述的 ?l，標準方差σ2(l)=(?x)2/6[11]。

為了研究振動沿圓柱殼軸向的衰減規律，在圓柱殼端部的一根環形肋骨上施加簡諧激振力，激振力沿著圓柱殼截面的徑向作用在肋骨上的一點，激振力的頻率范圍是1～1000 Hz。

將周期圓柱殼的振動進行分解并獲得振動等效參數。用有限元法分析圓柱殼在激振力作用下的響應，得到圓柱。

殼的徑向振動速度場v(θ,x,f)。其中，x表示圓柱殼軸向位置；θ表示周向位置；f表示激振力頻率。用波數分析法對徑向振動速度場進行分解。文獻[16]對波數分析法進行了詳細地闡述。將v(θ,x,f)分解為系列行進波疊加，即

式中：Vc和Vs表示各行進波分量的復數幅值；每一分量的頻率、軸向波數、周向振動模式和對稱模式分別用f，kx，n和上標c，s 表示。Vc和Vs的具體表達式為：

當激振力頻率為f、圓柱殼截面周向振動模式為n時，軸向波數是kx的行進波具有的振動能量計算如下：

將W(n,kx,f) 對kx積分，得到頻率為f時圓柱殼截面以周向振動模式n振動的總能量：

截面周向振動模式n一定時，截面振動能量沿軸向的分布用計算式為：

做出一定周向振動模式下的En～f曲線，n=2 時的En～f曲線如圖5 所示。將每個通頻帶的振動等效為耦合振子鏈的振動[11]，根據式（2）～式（4）可知，通頻帶的下限頻率相當于解耦彈簧振子的固有頻率，等效耦合系數由通頻帶的帶寬、中心頻率確定。對一個具體的通頻帶，如果其上、下限頻率分別是ω+=2πf+、ω-=2πf-，那么相應的振動等效參數分別為：

圖5 n=2 時的 En ～f曲線Fig.5 En ～f curve for n=2

將圓頻率 ω 用頻率f表示，則有：

式中：ωc，fc為通頻帶中心頻率；?ω=ω+-ω-或?f=f+-f-為通頻帶的帶寬。

將圓頻率 ω用頻率f表示，則有，

由式（15）可知，要計算 γ(f)，先要確定周期圓柱殼某一周向振動模式n下的通頻帶的帶寬 ?f、中心頻率fc、下限頻率f-（即f0），以及非周期圓柱殼大肋骨布置的不規則程度 ?x/?l等參數，然后就可計算通頻帶內不同頻率時的 γ(f)。

2 圓柱殼振動能量衰減率的理論計算

本文主要研究大肋骨非周期布置對圓柱殼在低頻段的振動控制作用，因此，要確定對低頻振動貢獻大的周向振動模式，分析圓柱殼振動衰減率與大肋骨間距布置不規則程度之間的關系等。

首先要獲得圖3 所示的周期圓柱殼振動等效參數。采用有限元法，以1Hz 為步長，計算頻率f在1～1 000 Hz 范圍內變化時周期圓柱殼的振動響應，以此為基礎，采用波數分析法，分別獲得周向振動模式n=0，1，……，15 時的En～f曲線，確定對低頻振動貢獻大的周向振動模式。然后根據式（14）獲得低頻段范圍內各通頻帶等效參數f0和V。圖6 為周期圓柱殼各周向振動模式的能量以及圓柱殼總的振動能量隨頻率的變化規律。可知，在低頻段，如120 Hz 以下，對總振動貢獻大的是n=2，3，4 階周向振動模式，并且在低頻段，n=2，3，4 的En～f曲線只有一個通頻帶。在獲得通頻帶等效參數f0和V后，對大肋骨布置不規則程度參數 ?x/?l取一系列的值，也就獲得了一系列非周期圓柱殼模型。用式（15）分別計算各個非周期圓柱殼的振動能量衰減率。如圖7 所示，?x/?l=4 0%時，周向振動模式n，分別取2，3，4 的振動能量衰減率在通頻帶內隨頻率變化的規律。

圖6 各周向振動模式下的 En ～f曲線（頻率范圍）Fig.6 En ～f curves of some typical circumferential modes

圖7 振動能量衰減率隨頻率的變化曲線（?x/?l=40%）Fig.7 Vibration attenuation rate as a function of frequency（?x/?l=40%）

由圖7 可知，在與各周向振動模式相應的通頻帶內，振動能量衰減率 γ隨頻率的增大而減小，并且隨著頻率的增大，振動衰減變慢，振動衰減程度變小。因此，大肋骨不規則布置控制的是圓柱殼的低頻振動。

根據式（15），當激振力頻率f一定時，振動能量衰減率與 ?x/?l的平方成正比，為了直觀地顯示?x/?l對振動能量衰減率的影響規律，做出通頻帶中心頻率處振動能量衰減率隨 ?x/?l變化的曲線，如圖8 所示。可以看出，無論在哪個周向振動模式下，?x/?l的增大將導致振動能量衰減率迅速增大。因此，為了增強振動控制，應適當增大 ?x/?l。

圖8 振動能量衰減率隨 ?x/?l的變化曲線Fig.8 Vibration attenuation rate curve as a function of?x/?l in pass band

3 振動衰減的數值模擬

通過數值模擬的方法驗證大肋骨間距非周期布置對圓柱殼振動傳遞的控制效果。

?x/?l由小到大取一系列的值，對于每一個 ?x/?l值，按照式（8）用隨機函數確定大肋骨在圓柱殼軸向的位置，建立非周期圓柱殼有限元模型，如圖9 所示。

圖9 非周期圓柱殼有限元模型Fig.9 FE model of disordered cylindrical shell

采用有限元法、波數分析法分析非周期圓柱殼的振動特性，并與周期圓柱殼進行比較。圖10（a）、10（b）、10（c）分別為n=2，3，4 階時，周期與非周期圓柱殼的En～f曲線的對比圖。可以看出，在通頻帶，尤其是頻帶中部，大肋骨非周期布置使圓柱殼振動衰減，而且衰減程度隨著 ?x/?l值的增大而增強。

圖10 En ～f曲線對比Fig.10 Comparison of En ～f curves

為了直觀顯示振動從振源開始沿圓柱殼軸向向遠離振源方向的傳遞特性，根據式（13）計算圓柱殼截面的振動能量，從而得到截面振動能量沿軸向的變化規律。以周向振動模式n=3、激振力頻率f等于通頻帶下限頻率60Hz 為例，分別做出 ?x/?l=30%、35%、40%、45%、50%時，截面振動能量隨截面軸向位置變化的曲線，如圖11 所示。振動能量呈震蕩特征，但是，從軸向看，隨著距離振源的距離的增大，振動能量呈衰減分布。式（15）是采用理論推導的方法得到γ的解析式，γ表示振動能量在空間的衰減率。因此，可以做出與 γ相對應的振動能量衰減線，衰減線是傾斜直線，斜率等于 γ。由震蕩曲線和傾斜直線的對比可知，通過理論方法能夠較準確地確定圓柱殼振動能量沿著軸向的衰減規律。

4 結語

通過大肋骨將圓柱殼分成多個軸向長度隨機分布的小段艙段，研究大肋骨的不規則布置對圓柱殼振動傳遞的控制作用，得出如下結論：

1）可以用耦合振子鏈系統振動能量衰減率理論公式計算圓柱殼的振動能量衰減率。將圓柱殼的徑向振動等效為不同周向振動模式的一維振動的疊加，將一維振動等效為耦合振子鏈的振動，從而就可以用耦合振子鏈系統振動能量衰減率理論公式計算圓柱殼的振動能量衰減率。通過與數值模擬的結果比較可知，可以采用上述方法研究圓柱殼振動能量衰減特性。

2）在低頻段，圓柱殼振動能量衰減率隨頻率增大而減小，隨 ?x/?l的增大而增大。在低頻段的通頻帶，在頻率下限振動能量衰減率最大，隨著頻率的增大，振動能量衰減率迅速減小，然后緩慢減小，在頻率上限處振動能量衰減率最小。當其他參數不變，圓柱殼的振動能量衰減率與 ?x/?l的平方成正比，并且當n較大時，振動能量衰減率隨 ?x/?l的增大程度比n較小時更明顯。

3）用大肋骨將圓柱殼分成多個軸向長度隨機分布的小段，可以構造非周期圓柱殼結構。這種結構能夠控制振動沿著圓柱殼軸向向遠離振源方向的傳遞，從而達到減弱圓柱殼整體振動水平的目的。