轉化思想在初中數學解題中的應用策略探微

尹家惠

(江蘇省南京市金陵中學河西分校,江蘇 南京 210019)

初中數學習題具有靈活性和多變性的特點,為了提高學生的解題能力,教師應將轉化思想滲透到解題中的各個流程,有意識地利用直接轉化、降次轉化、數形轉化等多種常用的轉化方法解決問題,切實提高學生運用轉化思想解題的意識和能力,助推學生數學核心素養的提升.

1 轉化思想概述及轉化方法

1.1 轉化思想概述

初中數學是一門嚴謹且抽象的學科,很多理論知識都具有較強的邏輯性,而且多數問題也無法通過直觀思維得到順利解決[1].因此,學生在解題過程中經常會遇到一定障礙,但在教師的引導下,學生會通過觀察、分析、對比等方式閱讀題干要求,將問題以另一種方式呈現,使原本復雜的問題變得更加簡潔、直觀,有效降低習題難度.通過對新問題的分析逐漸理清原先問題的解題思路,這種思想就是轉化思想.它的本質是挖掘不同問題之間的關聯性,為問題的解決做好充分準備.在初中數學教學中,教師應結合學生的實際情況選擇恰當的方式講解轉化思想,使學生意識到這種思想在解題中的便捷性和高效性,以此鍛煉其轉化能力,幫助其加深對課程內容的理解,使其更好地學習數學知識.

1.2 轉化思想的轉化方法

在初中數學解題中,教師要滲透轉化思想,使學生樹立一定的轉化意識,不僅可以提高學生的知識應用能力,還可以實現數學綜合素養的發展.轉化思想的轉化方法主要體現在以下幾方面.

1.2.1語言轉化

語言轉化主要指通過轉變語言的方式簡化問題,將數學語言替換為生活語言,使題干中的文字、符號、圖形等內容變得清晰、直觀,這種方式符合初中學生的認知特點,有利于問題的順利解決.

1.2.2類比轉化

類比轉化主要指將一個事物轉變為與其相近的事物,如初中數學教學中的一元一次方程式和一元一次不等式問題,學生掌握其中一種解題思路后,通過類比轉化能正確解答另一種類型的習題.

1.2.3數形轉化

數形轉化是最為常見的轉化方法,將數學與圖形結合起來,對問題的解決起到輔助作用,對初中階段的函數、方程等相關例題的探究具有重要作用.

1.2.4分解轉化

分解轉化方式通常運用于較為復雜的問題,將大問題分解為若干個小問題,有效降低解題難度,同時還可以鍛煉學生思維的靈活性.

2 轉化思想在初中數學解題中的應用策略

2.1 基于化陌生為熟悉的數學解題

初中階段的學生已經接受過系統性的數學教學,通過不斷的積累具備了一定的數學基礎,但是受到年齡因素的影響,學生的認知能力不夠成熟,無法自主分析新課知識,直接影響其解題效率[2].因此,當學生面對較為復雜的理論知識或數學問題時,應保持冷靜的態度進行獨立思考,結合之前所學內容對它實施拆分,將大問題拆分成若干個簡單的小問題,通過分解的方式順利計算出正確答案.也就是說,在初中數學解題中,教師要培養學生的自主探究意識,引導學生運用轉化思想將習題分解成熟悉的內容,通過知識的遷移總結出解題思路.

以蘇科版七年級上冊《解一元一次方程》為例,教師利用多媒體設備出示一道例題:學校要將一些圖書分給某班學生閱讀,如果每人分3本,則剩余20本,如果每人分4本,則還缺25本,問這個班一共有多少名學生?在教師的引導下,學生知道要用方程解決此問題,可以它分解為兩個小問題,設這個班有x名學生,每人分3本,共分出3x本,加上剩余的20本,這批書就是(3x+20)本;每人分4本,需要4x本,減去缺的25本,這批書共(4x-25)本.通過解決這兩個小問題,學生便能輕松列出方程:3x+20=4x-25,利用等式性質即可得出x=55.

2.2 基于化復雜為簡單的數學解題

在初中數學教學中,學生經常遇到無法解決的問題,不能在短時間內找到突破口,久而久之容易打擊其自信心,對數學學科產生排斥的情緒[3].當學生遇到復雜問題時,教師應靈活運用轉化思想,引導學生認真閱讀題干要求,深入分析已知條件,嘗試將其轉變為簡單的問題,利用現有的知識儲備進行自主探究,直至問題順利解決,彰顯轉化思想對解題產生的積極作用.

以蘇科版七年級下冊《單項式乘多項式》為例,當學生對本課理論知識形成一定的認識后,教師借助隨堂練習檢測其學習情況.

如圖1所示,一塊長方形土地用來建造住宅、廣場、商廈,求這塊地的面積.

圖1 長方形地塊面積分布

問題出示后,教師應帶領學生將復雜的問題簡單化處理,只要求出這塊地的長和寬,將二者相乘,或者求出每個小長方形的面積然后相加,就能求出這塊地的面積.在教師的引導下,學生逐漸理清解題思路,長方形地塊的長是(3a+2b)+(2a-b),寬是4a,這塊地的面積是4a[(3a+2b)+(2a-b)]=4a(5a+b)=20a2+4ab.

經過實踐使學生發現,此類問題就是將單項式乘多項式以應用題的方式,本質上是最基礎的計算問題,只要正確按照運算順序進行計算,就能得出正確答案,使學生解決問題的自信心得以提升.

2.3 基于化抽象為具體的數學解題

對于初中生來說,雖然他們已經具備一定的數學基礎,但是在思考問題時仍然以形象思維為主,無法透徹理解抽象的題干要求,直接影響最終的解題效率.基于此,教師要針對學生的具體表現給予幫助,引導學生將抽象的問題轉化為具體形式呈現,也就是大家熟悉的數形結合.如此一來,原本抽象的數學問題便可以用圖形進行具體的體現,學生運用直觀思維也能順利解決問題,不僅可以培養學生的空間想象力,還有利于思維能力的拓展[4].

以蘇科版八年級上冊《探索三角形全等的條件》為例,教師帶領學生共同分析例題:已知平行四邊形ABCD中,AB=CD,AD=BC,則∠A與∠C相等嗎?為什么?為了保證解題效率,可以利用轉化思想中化抽象為具體的方式進行研究,根據題干要求畫出相應的圖形,如圖2所示.

圖2 平行四邊形

圖3 AE與圓O的關系圖

要想證明∠A=∠C,應先證明其所在的兩個三角形全等,再根據全等三角形性質進行說明∠A=∠C.已知圖中具備兩邊相等的條件,將BD連接起來便能解決問題.具體過程如下:連接BD,在△ABD與△CDB中,AB=CD,AD=BC,BD=DB,所以△ABD≌△CDB(SAS).通過作圖的方式使抽象的例題變得更加具體,讓學生學會利用添加輔助線獲得公共邊,以此證明三角形全等.

2.4 基于化零為整的初中數學解題

在初中數學教學中,部分習題無法用傳統方法解決,為了不打擊學生的自信心,教師應引導他們認真閱讀題干中給出的信息,分析數學知識中蘊含的內在規律,通過對整體和局部之間關聯性的挖掘落實轉化思想,將原本的題目化零為整,從整體的角度進行分析,使學生快速解決問題.這種方式凸顯轉化思想的重要性,使學生在閱讀題干過程中獲得正確的解題思路,不僅可以深化知識理解,還能將其靈活運用于實際問題的解決中,立足于問題整體進行深入研究,在化零為整中探索內在規律,充分保證解題問題的實效性.

2.5 基于化一般為特殊的數學解題

隨著年級的升高,數學習題的難度和深度也在發生改變,一些例題中的已知條件和所求問題沒有必然的聯系,常規方法很難求出最終結果.因此,教師要根據多元化的問題采取相應的教學策略,在解題過程中滲透轉化思想,讓學生知道即便現有的條件不夠充足,也可以通過化一般為特殊的方式推理出有用的信息,將其轉化為易于解決的特殊問題,從而有效解題.

以蘇科版九年級上冊《直線與圓的位置關系》為例,教師利用多媒體向同學們出示一道填空題:在△ABC中,∠B=90°,D為AC上一點,以CD為直徑的圓O交AB于點E,連接CE,且CE平分∠ACB.求證:AE是圓O的切線.

此題已知條件不夠充足,根據現有信息很難完成證明,教師可以引導學生用轉化思想中的化一般為特殊的方式添加輔助線,將OE連接起來,便于接下來的論證.因為CE平分∠ACB,所以∠ACE=∠BCE.因為OE=OC,所以∠ACE=∠OEC,∠BCE=∠OEC,所以OE∥BC,所以∠AEO=∠B.因為∠B=90°,所以∠AOE=90°.即OE⊥AE.因為OE是圓O的半徑,所以AE是圓O的切線.

綜上所述,轉化思想是初中數學解題中的有效方法,不僅能使學生加深對理論知識的理解,提高解題效率,還可以在直接轉化、降次轉化、換元轉化中鍛煉其思維的靈活性和發散性,有助于發展學生的數學核心素養.