借助天平平衡模型幫助學生發展等號概念的教學分析

顧新輝

(南通師范高等?？茖W校,江蘇 南通 226006)

基金項目：本文系第四期江蘇省年度職業教育教學改革研究課題“面向師范生的STEM教育課程開發實踐與研究”的研究成果之一(課題編號:ZYB357/2019/03/05)

大多數一年級的學生在數字運算的表現上,經驗與掌握程度較為不足.學生對于等號概念的意義理解較為困難,這與等號概念的呈現方式、教材中對等號概念學習課時數及學生認知發展水平有密切關系.所以,教師在進行課程安排時,需建構適切的模型呈現多元的等號概念內涵,以此將抽象的問題具體化,便于學生更好地掌握等號概念.本文以天平平衡模型為例,談談天平平衡模型在等號概念學習中的建構、鞏固及擴展學生的等號概念的作用.

1 通過操作活動,把抽象的等號概念學習具體化

通常,模式識別并非某個個體的隨意猜想,而是采取掃描或者逐項查核才能正確.因此,只能在同時處理許多特征的認知結果下才會發生[1].不同的情境特征可能呈現不同的模式特征,對于一年級學生來說,相似情境更易于對其引起注意,從而辨識出特殊的特征.天平模型的便利之處在于提供給學生一個極為清晰的辨識模式.天平模型是一年級學生掌握等號概念的辨識情境、事件及經驗的初始知識.

將天平具體平衡的情境改成“想象”平衡的情境,將動手操作改為思維操作,在腦海中呈現“兩邊一樣”“單邊操作”“雙邊操作”這些問題,發展直觀想象以及數學運算這一核心素養[2].在此過程中,教師應指引學生書寫符合“反身性”“單邊運算”“雙邊運算”的算式.課上等學生寫出正確的算式后,再要求學生結合天平平衡的情境,闡述等式的意義,而后呈現算式,希望能利用實物表征和說明算式的情境.例如7=7,學生要在左邊托盤上放上7個積木,右邊也應該同樣如此,表示兩邊相等;或7+6=5+8,學生操作天平:左邊托盤上有7個積木,右邊托盤上有5個積木,左邊又放上6個積木,變成13個積木,右邊也要有13個積木才會“相等”,所以右邊托盤上還要放上8個積木.上述活動內容以“等號”相關的知識加以引導,讓學生認識由簡單到復雜,通過操作活動激發其學習動機.

具體而言,通過操作活動實現等號概念學習具體化,可通過以下幾個階段實現:第一,告知學生天平平衡可以代表“=”,也可將平衡時的數量操作過程及結果用算式呈現,例如天平兩邊皆無積木時會呈現平衡,此時可寫成0=0;第二,呈現天平,讓學生操作,詢問學生當兩邊托盤一樣高(平衡)時,代表何種意義?學生明白兩邊放的積木數量呈現“相等”(反身性,A=A兩邊為相同的對象);第三,再呈現天平不平衡的現象,詢問學生如何讓它“平衡”.學生嘗試著操作兩邊托盤的積木數量,以解決問題,了解天平的平衡可表示托盤兩邊數量“相等”的概念.如,左邊托盤有8個積木,右邊托盤放5個積木,怎么操作,兩邊才會平衡?學生將右邊托盤再放上3個積木,總共等于8個,也可寫成8=5+3.再分別呈現“托盤兩邊一樣”“托盤單邊操作”“托盤雙邊操作”的問題,提供學生思考操作.在此過程中,教師應指引學生書寫反應“反身性”“單邊運算”“雙邊運算”的算式表示.等學生寫出正確算式后,要求學生結合天平平衡的情境,說明等式的意義.

2 通過啟發性引導,促使學生思考具體活動的數學化

在小學階段,通常一個概念學習主要可劃分為:感知→體驗→思維→應用這四個階段,為了解學生對等號概念的掌握程度,活動過程可借助于恰當的問題進行啟發.如在感知等號意義的過程中,可提出“從天平兩端放置的積木,你看到什么變化?”“左右兩邊的積木數量有什么不同?”等問題,鼓勵學生對問題情境加以觀察,從不平衡或變化中,識別相等概念的情境.而在體驗等號概念的意義的過程中,則從情境的變化中,要求學生記錄,并思考如何將相等的關系呈現.在思維過程中,數學知識便可以從經驗中獲得,學生需要把既有的知識與能力和特殊情境加以整合.以6+4=7+3 是否正確為例,學生可運用數字合成和分解的模型,通過等號兩邊數字增減變化的辨識與經驗獲得答案,亦可通過運算結果驗證兩邊是否相同,而獲得等號的意義.在該階段,可通過啟發式詢問學生:你會采用何種方式來幫助計算?在應用過程中,則要求學生能夠以等號概念的關系實施問題解決,詢問學生:你能不能想辦法快速算出答案?總之,通過天平平衡四個階段活動的表現與反應加以分析、探討,可推論學生在每種等號概念情境學習的狀況.

同時,等號概念教學的內涵,還包括為問題情境里的各元素呈現適切的配對關系.思考問題情境里主要的特征或者觀察概念周圍已經發展的事件,思考的知識促進個體創造現在問題的心智模型.通過現在經驗的闡述與表現,可將之前一般情境辨認的經驗,轉移到知識的思考模式上.例如以數字20的合成為例,學生需同時注意兩數字合成后等于20的事實,其中,若有一數字改變,則另一數字也需同時改變,即滿足□+▲=20.若學生經引導后能發現此法則,則教師可幫助學生歸納:一組數字逐漸增加時,另一組數字則會逐漸遞減的模式變化,同時了解分解與合成過程中的數字相互關系.

3 通過強化等號概念的意義,發展學生的代數思維

對等號概念或運算能力的習得和轉化而言,符號化的問題結構表達是最基本的[3],因此必須提供不同情境的經驗.學生能掌握等號概念,在于如何運用模型進行建構與推理,如果等號問題情境屬于物理狀態,那么就需要創造視覺表征,以促進空間思考的模型建構;若等號問題情境屬于數字或數量,為了推理,就需要建構一種問題情境的模型.因此,針對等號概念的轉化,需將重點集中在“具體表征與抽象數字”和“情境新穎與熟悉的問題”之間明確連結的教學,才能幫助學生從不同的情境中,通過思考、計劃與執行等過程整合等號概念的學習.表1呈現的是等號概念教學情境的內容.

表1 不同類型的情境與等號概念學習

一年級學生所學的等號概念包含數字分解、合成能力、以10為主的位值概念,以及運算后獲得的數字保留概念.以天平平衡作為載體,結合等號“反身性”“單邊運算”“雙邊運算”概念的教學情境(如5=5,6=4+2,4+2=5+1),配合實物操作和數字關系的辨別、思考、計劃與執行等模型知識,展現不同情境下的等號概念.

首先,提供呈現在等號兩邊運算結果的情境.通過天平平衡情境,熟練等號單邊數字的分解與合成能力,在單邊運算的情境里,學生通過天平“平衡”的觀察,把天平平衡與等號概念進行連結,理解等號可表示“兩邊相等”的概念.同時教師提供與引導等式記錄的方式,讓學生理解并呈現問題情境的運算結果,可置于等號的左邊或右邊.

其次,幫助學生了解等號表示兩邊對象一樣的意義.學生利用運算方式判斷算式是否具有相等關系,在數字分解與合成的過程中,若受限于計數技巧不熟練及認知資源不足,那么等號概念的理解將會變得困難.換言之,要對兩邊運算命題產出正確解答,“等號單邊”運算能力是基本的要求,單邊運算能力是學生擴展等號概念其它意義的基礎,也是幫助學業成績較低的學生驗證雙邊運算結果的必要能力.運用等號解決問題的能力會受到學生對數字分解與合成能力掌握程度的影響,特別是運用等號對開放式問題的等號算式的解決.因此,在等號概念的教學過程中,不僅要強調概念性的知識,還要配與一定的程序性知識訓練,借助模型發展等號的概念和意義,使等號概念更為豐富.

當進入等號反身性教學情境時,因為學生已經具有“等號代表兩邊對象相等”的認識,教師可通過引導學生思考“兩邊對象相等”的含義,讓學生明白等號是對象本身,也可以是具有相同運算結果的對象.但不論對象是通過運算得到的結果,還是本身的投射,即便是存在“0”的情境出現時,均是等號“反身性”的意義.

最后,驗證等號兩邊可同時進行運算,強化等號兩邊數字運算的能力.兩邊運算的情境,一般開始的時候會受限于計算解題所需的認知資源,因此,需要熟練運算數字技巧后方可進行.在實際教學中,可以先呈現“等號單邊運算”與“等號反身性”的情境教學,等學生理解等號是具有“兩邊對象相等”的關系概念后,再進入雙邊運算的教學情境.若無堅實的運算能力和正確的等號關系概念作為基礎,貿然地接觸雙邊運算教學活動,將會造成觀念混淆且易在學習上產生挫折.

總之,人類學習的困難之處在于如何應用抽象的范疇去知覺真實世界的事物,模型便是一種紐帶,它能提供被知覺現象的表征,并于限制的內在范疇下加以說明.利用天平平衡的模型來組織一年級學生理解等號概念學習,能夠有效地表征等號概念的特點,進而幫助學生發展等號的符號意識和代數思維,將現實世界與客觀符號進行有效連結,使學生更好地掌握和利用等號概念實施問題解決.