談凹凸反轉法在解題中的妙用

劉海濤

(安徽省蕪湖市第一中學,安徽 蕪湖 241000)

在處理一些不等式(或等式)問題時,若我們直接研究函數解析式,將問題轉化為函數最值問題處理,則往往由于函數式比較復雜,需要討論參數、運用隱零點求最值等,使解答過程繁雜,運算量大,但若能將不等式(或等式)合理變形為m(x)≥n(x)(或m(x)=n(x)),其中m(x)為凹函數,n(x)為凸函數,且m(x)min≥n(x)max(函數m(x)的最小值點與函數n(x)的最大值點相同),則可以通過分別研究函數m(x)與n(x)的單調性,來完成對問題的解答.一般地,我們把這種將不等式(或等式)“一分為二,分而治之”的解題方法,稱為“凹凸反轉法”.

1 例談凹凸反轉法的應用

1.1 證明不等式問題中的應用

例1已知函數f(x)=2ex-2+ax(a>0),對?x>0,求證:f(x)>x(lnx+a).

解法1由f(x)>x(lnx+a),得2ex-2>xlnx.

設g(x)=2ex-2-xlnx,下證g(x)>0即可.

求導,得g′(x)=2ex-2-lnx-1,

易知g″(x)在(0,+∞)上單調遞增.

又x→0時,g′(x)→+∞,g′(2)=1-ln2>0,則存在x1∈(0,x0),x2∈(x0,2)使得g′(x1)=g′(x2)=0.

于是當0x2時g′(x)>0,當x1

因此欲證g(x)>0,

即證g(x2)>0,即證2ex2-2-x2lnx2>0.

又由g′(x2)=0,得2ex2-2=lnx2+1.

即證lnx2-x2lnx2+1>0.

設h(x)=lnx-xlnx+1(1

又h(2)=1-ln2>0,所以h(x2)>0.

故問題得證.

解法2由f(x)>x(lnx+a),得

2ex-2>xlnx.

所以m(x)min>n(x)max.

評注解法1直接作差構造函數,將問題轉化為求函數最小值大于0,解題過程中兩次運用隱零點法,過程繁雜,運算量大;解法2將不等式合理變形,分離為凹凸反轉的兩個函數,分別研究兩函數單調性,將問題轉化為左側函數最小值大于右側函數最大值問題.比較解法1和2,不難發現凹凸反轉法的優勢,大大簡化了解題過程[1].

1.2 含參不等式恒成立求參數問題中的應用

解法1由不等式f(x)≤g(x),得

ex+x2-lnx-ax≥0.

當x→0+時h′(x)→-∞,當x→+∞時h′(x)→+∞,則存在唯一x0∈(0,+∞)使h′(x0)=0,于是當0x0時h′(x)>0,所以h(x)在(0,x0)上單調遞減,在(x0,+∞)上單調遞增,得h(x)min=h(x0).

兩式聯立消去a,整理得

(1-x0)(ex0+x0+1)-lnx0≥0.

設φ(x)=(1-x)(ex+x+1)-lnx,

有φ(x0)≥0,

函數φ(x)在(0,+∞)上單調遞減,注意到φ(1)=0,得0

故a≤y(1)=e+1.

解法2不等式f(x)≤g(x)整理為

當00,當x>1時m′(x)>0且n′(x)<0,則m(x)在(0,1)上單調遞減,在(1,+∞)上單調遞增,n(x)在(0,1)上單調遞增,在(1,+∞)上單調遞減,有m(x)min=m(1)=e,n(x)max=n(1)=a-1.

由此問題轉化為m(1)≥n(1),得a≤e+1.

評注解法1直接作差構造函數,將問題轉化為h(x)min≥0,運用隱零點法求出函數的最小值;解法2將不等式變形為m(x)≥n(x),分別研究兩函數發現x=1恰是函數m(x)的最小值點,n(x)的最大值點,符合凹凸反轉的特點,于是不等式等價于m(1)≥n(1).

解法1由f(x)≥lna+2,得

易知g′(x)在(0,+∞)上單調遞增.

設x1max{2,a},則

g′(x1)<0,g′(x2)>0.

所以存在x0∈(x1,x2)使g′(x0)=0,當0x0時g′(x)>0,則g(x)在(0,x0)上單調遞減,在(x0,+∞)上單調遞增.

即lna=x0+lnx0-2.

易知φ(x)在(0,+∞)上單調遞減.

又φ(1)=0,則0

所以lna=x0+lnx0-2≤-1.

解法2由f(x)≥lna+2,整理,得

所以m(x)min=m(1)=e.

1.3含參不等式有若干整數解問題中的應用

1.4 方程有解問題中的應用

所以m(x)min=m(e)=a-e2.

評注受例4的啟發,將方程轉化為等號兩側凹凸性相反的兩個函數,問題轉化為m(x)min=n(x)max.

2 反思小結

通過上述例題的解答,不難發現,若不等式(或等式)中含有ex,lnx時,我們可以考慮用凹凸反轉法處理不等式(或等式),這為我們今后處理不等式(或等式)提供了一種新的思路,但該種解法并非通法,有局限性,只有在符合特定的情形下方可使用.另外,熟記一些與ex,lnx有關的函數,往往有利于我們探究問題時使用凹凸反轉法,筆者通過梳理,給出以下函數的草圖供讀者使用(如圖1).

圖1 與ex,lnx有關的函數圖