從“端點效應”到“內點效應”導數恒成立求參數取值范圍問題

李文東

(中山市中山紀念中學,廣東 中山 528454)

導數恒成立求參數取值范圍問題一直是高考的熱點,同時也是難點問題.解決這一類問題需要用到函數與方程思想、轉化與化歸思想、數形結合思想和分類討論等數學思想,能夠很好地發展和培養學生的數學抽象、直觀想象、邏輯推理和數學運算等核心素養.其中“端點效應”經常被用來求解一類恒成立問題.關于“端點效應”其中一個比較具體的模型是:若?x∈[a,b],f(x,m)≥0,且f(a)=0,則必然?x0∈(a,b),當x∈[a,x0]時f(x)單調遞增,從而有x∈[a,x0]時,f′(x)≥0成立,特別有f′(a)≥0這一必要條件,由此可得出參數m的范圍,然后說明這一范圍的充分性即可[1].

1 利用“端點效應”求解參數取值范圍問題

例1(2016年全國Ⅱ卷文科第21題改編)已知函數f(x)=(x+1)lnx-a(x-1),當x∈(1,+∞)時,f(x)>0,求a的取值范圍.

解析注意到f(1)=0,要使得當x∈(1,+∞)時,f(x)>0,則必有f′(1)≥0.

所以f′(1)=2-a≥0,解得a≤2(必要性).

下面證明a≤2的充分性,即當a≤2時,f(x)>0成立.

由于當a≤2時,

所以函數g(x)在[1,+∞)單調遞增.

故g(x)>g(1)=0.從而f′(x)>0.

即函數f(x)在[1,+∞)單調遞增.

故f(x)>f(1)=0,符合題意.

綜上所述,a的取值范圍為(-∞,2].

2 對利用“端點效應”求解參數取值范圍問題充分性的思考

雖然例1中利用“端點效應”得出的參數的范圍具有充分性,而且這樣的例子還不在少數,但是并不能說明用“端點效應”得到的結果就是最終的正確答案.

分析我們嘗試用“端點效應”來解決該問題:

注意到g′(0)=0,g″(x)=ex+2a-3x,

但是這個范圍卻不是正確的答案.

其實本題用分離參數法很容易求解.

(1)當x=0時,不等式顯然成立,符合題意;

(2)當x>0時,分離參數a,得

h′(x)=ex-x-1,h″(x)=ex-1≥0.

故h′(x)單調遞增,h′(x)≥h′(0)=0.

故函數h(x)單調遞增,h(x)≥h(0)=0.

故當x∈(0,2)時,g′(x)>0,g(x)單調遞增;

當x∈(2,+∞)時,g′(x)<0,g(x)單調遞減.

從而[h(x)]max=max{h(0),h(2)}=4,即h(x)≤4,①式成立．

由此可見,本題中的“端點效應”失效了,而應該在內點x=2處求解.那么我們應該怎樣才能迅速找到這個“內點”呢[1]?

圖的圖象

我們用上述方法再次求解問題1.

解得x0=0 或x0=2.

3 運用“端點效應”和“內點效應”求參數取值范圍問題舉例

對于無法采用分離參數的恒成立問題,上述找“內點”的方法也是可以的.

例3(2020年山東新高考Ⅰ卷理21題第(2)問)已知函數f(x)=aex-1-lnx+lna．若不等式f(x)≥1恒成立,求a的取值范圍．

解析設g(x)=f(x)-1=aex-1-lnx+lna-1.

解得x0=1.所以f(1)≥1,即a+lna≥1．

所以S(a)在區間(0,+∞)內單調遞增．

因為S(1)=1,所以a≥1時,有S(a)≥S(1),即a+lna≥1．

下面證明當a≥1時,f(x)≥1恒成立．

令T(a)=aex-1-lnx+lna,只需證當a≥1時,T(a)≥1恒成立．

所以T(a)在區間[1,+∞)上單調遞增.

則[T(a)]min=T(1)=ex-1-lnx．

因此要證明a≥1時,T(a)≥1恒成立,只需證明[T(a)]min=ex-1-lnx≥1即可．

由ex≥x+1,lnx≤x-1,得ex-1≥x,-lnx≥1-x．

上面兩個不等式兩邊相加可得ex-1-lnx≥1.

故a≥1時,f(x)≥1恒成立．

當0

所以a的取值范圍為a≥1．

若無內點,則這個時候我們就可以繼續用“端點效應”.

例4(2015年山東高考理22題第(2)問)設函數f(x)=ln(x+1)+a(x2-x),其中a∈R.若?x>0,f(x)≥0成立,求a的取值范圍.

消去a得x0(1-x0)=(1-2x0)(x0+1)ln(x0+1).解得x0=0.注意到f(0)=0,又?x>0,f(x)≥0成立,從而必有f′(0)≥0,得a≤1.

下面證明當0≤a≤1時,f(x)=ln(x+1)+a(x2-x)≥0恒成立.顯然當x≥1時,f(x)>0成立;當0

f(x)=ln(x+1)+a(x2-x)≥ln(x+1)+x2-x.

令g(x)=ln(x+1)+x2-x,x∈(0,1),則

故g(x)>g(0)=0.從而有f(x)>0恒成立.

故a的取值范圍為[0,1]．

例5 若不等式sinx-x+ax2≥0恒成立,求a的取值范圍.

解析設f(x)=sinx-x+ax2,

解得x0=(2k+1)π,k∈Z.

根據對稱性,只需證明:

運用“端點效應”和“內點效應”求解f(x,a)≥0恒成立時參數取值范圍問題的一般步驟:

(1)解方程組f(x0,a)=0且f′(x0,a)=0,消去參數a可得關于x0的方程;

(2)若(1)中的方程的解恰好是區間的端點,則可以利用“端點效應”方法求解,同時注意在無窮端點(若區間是無窮的)處的情況;

(3)若(1)中的解不是區間的端點,則這些點為內點,可用“內點效應”求解;

(4)若(1)中的方程無解,則說明該問題不適合用“端點效應”和“內點效應”求解.