數(shù)形結(jié)合顯“真功”
——妙解兩條曲線存在公切線

徐明松

(貴州省黔南布依族苗族自治州都勻第一中學(xué),貴州 都勻 558000)

中國著名數(shù)學(xué)家華羅庚老師曾說:“數(shù)形結(jié)合本是相倚依,焉能分作兩邊飛?數(shù)缺形時少直觀,形少數(shù)時難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休;切莫忘,幾何代數(shù)統(tǒng)一體,永遠聯(lián)系,切莫分離”[1].在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中,空間形式和數(shù)量關(guān)系是兩個最基本,也是最重要的研究對象.它們之間有著密切的關(guān)系,在一定條件下,可以相互轉(zhuǎn)化,相互滲透.

1 問題呈現(xiàn),解法對比

題目若二次函數(shù)f(x)=x2+1的圖象與曲線C:g(x)=aex+1(a>0)存在公共切線,則實數(shù)a的取值范圍為____.

方法1 構(gòu)造函數(shù)和方程,將公切線問題轉(zhuǎn)化為方程有根來解決.

所以2x2=x1+2或x1=0.

又因為2x1=aex2>0, 所以x1>0.

所以2x2=x1+2>2.所以x2>1.

方法2 數(shù)形結(jié)合,直觀感知.

分析由于a>0,可先令a=1畫出題干中兩個函數(shù)的圖象(如圖1).

圖1 方法2示意圖

通過對圖象的直觀分析,要使兩個函數(shù)存在公切線,則公切線只能在第一象限,且兩個函數(shù)在x>0 部分的圖象至少有一個交點,當(dāng)兩個函數(shù)在第一象限恰好相切時(如圖2),此時存在一條公切線,設(shè)切點為(x0,y0),則f′(x0)=2x0=g′(x0)=aex0.

圖2 方法2示意圖

又f(x0)=g(x0),解得x0=2,y0=5.

2 探究應(yīng)用,彰顯數(shù)形結(jié)合

根據(jù)上面兩種方法對題目的處理,明顯用數(shù)形結(jié)合要直觀且易懂,下面舉兩個相應(yīng)題目體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合解決此類問題的優(yōu)越性.

應(yīng)用1已知曲線y=ex+a與y=(x-1)2恰好存在兩條公切線,則實數(shù)a的取值范圍為____.

分析此題如果采用上面方法1構(gòu)造方程將非常困難,而且對化簡要求特別高,很難做出結(jié)果.下面直接采用數(shù)形結(jié)合的方法解決問題.函數(shù)y=ex+a中a的值影響函數(shù)左右平移情況,不訪先設(shè)a=0(如圖3).

圖3 a=0時函數(shù)圖象

要使兩個函數(shù)存在公切線,只需將y=ex的圖象向右移,臨界在兩個圖象剛好相切(如圖4).

圖4 兩個函數(shù)臨界相切圖

設(shè)切點為(x0,y0),則ex0+a=2(x0-1),且ex0+a=(x0-1)2,整理,得a=2ln2-3,此時只存在一條公切線,要保證兩條公切線圖象需再右移,此時a<2ln2-3.

應(yīng)用2若函數(shù)f(x)=lnx與函數(shù)g(x)=x2+2x+a(x<0)有公切線,則實數(shù)a的取值范圍是____.

分析直接采用數(shù)形結(jié)合解決問題.作出函數(shù)g(x)的變化圖(如圖5).

圖5 函數(shù)g(x)的變化圖

圖6 函數(shù)g(x),f(x)草圖象

此題雖然不是直接考查兩曲線存在公切線,但可以轉(zhuǎn)化為兩曲線存在公切線時問題成立的臨界,然后通過圖象和計算可很快獲得實數(shù)a的范圍.

通過兩種不同方法的對比分析,解決兩曲線存在公切線求參數(shù)范圍時明顯看到數(shù)形結(jié)合的優(yōu)勢,因此,教師在教學(xué)中必須注重學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的培養(yǎng),注重數(shù)學(xué)思想方法的滲透和掌握,從而真正提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和解題能力[2].對于函數(shù)問題多研究函數(shù)圖象,掌握好數(shù)形結(jié)合思想,以提高學(xué)生的直觀想象素養(yǎng).