高中數學解題中構造函數的有效應用

王 勇

(福建師范大學第二附屬中學,福建 福州 350015)

構造函數屬于構造法的一種,從本質上來說是對轉化思想的運用,把復雜化、抽象化、陌生化的數學問題轉變成簡單化、具體化、熟悉化的函數問題,讓學生結合函數方面的相關知識進行解題.

1 有效構造函數,解答不等式類試題

2 有效構造函數,解答方程方面試題

例2已知方程3x+4x+5x=6x,求該方程的解.

分析在這道例題中,題干中給出的方程形式較為特殊,未知數x位于指數位置,各個項之間不僅無法合并,也難以進行分解,如果純粹利用方程方面的知識很難求解.此時教師可以提示學生結合方程與函數之間的關系進行分析,使其根據原方程式構造函數,基于此找到解題思路[2].

由此可以確定原方程有一個解x=3.

綜上,該方程只有一個解,即為x=3.

3 有效構造函數,解答比較大小試題

分析通過觀察題干中的式子發現a,b,c三個表達式較為一致,這時可以采用整體思想仔細審視各個表達式,找出它們特征一樣的部分,然后利用自變量x表示出來,由此構造出函數.當構造函數完成以后,就能夠把復雜的比較大小問題轉變成自變量進行比較的問題[3].

綜上可得a>c>b.

4 有效構造函數,解答最值方面試題

分析本道題目較為特殊,通過分析可知要用到逆向推理法,按照“n-m的最小值、確定n與m的表達式、構造函數、研究函數的單調性、計算出最小值”的步驟進行解題.其中確定n和m的表達式時需要結合題意引入新的變量t,然后后續解題步驟根據t的取值問題展開,最終輕松、簡便地求出n-m的最小值.

解析結合題意令f(m)=g(n)=t(t>0),則

5 有效構造函數,解答數列方面試題

6 有效構造函數,解答幾何方面試題

當x>1時,x2-1>0,lnx>0,則g′(x)>0,故g(x)呈單調遞增.

由于x>1,所以g(x)>g(1)=0.

當0g(1)=0.

綜上可得,恒有g(x)>0(x≠1),所以除切點以外,整個曲線C都位于切線l的下方.

總而言之,在高中數學解題教學活動中,構造函數有著極為廣闊的運用空間,適用于不少類型的試題.教師應以學生透徹理解并牢固掌握函數概念、性質等理論知識為前提,結合實際題目內容選擇合適的函數形式進行構造,使其靈活借助構造函數的優勢簡化解題步驟,降低試題難度,不斷增強學生有效應用構造函數的意識,同時積累更多的解題經驗.