高中數(shù)學(xué)解題中構(gòu)造函數(shù)的有效應(yīng)用

王 勇

(福建師范大學(xué)第二附屬中學(xué),福建 福州 350015)

構(gòu)造函數(shù)屬于構(gòu)造法的一種,從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)是對(duì)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用,把復(fù)雜化、抽象化、陌生化的數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)變成簡(jiǎn)單化、具體化、熟悉化的函數(shù)問(wèn)題,讓學(xué)生結(jié)合函數(shù)方面的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行解題.

1 有效構(gòu)造函數(shù),解答不等式類試題

2 有效構(gòu)造函數(shù),解答方程方面試題

例2已知方程3x+4x+5x=6x,求該方程的解.

分析在這道例題中,題干中給出的方程形式較為特殊,未知數(shù)x位于指數(shù)位置,各個(gè)項(xiàng)之間不僅無(wú)法合并,也難以進(jìn)行分解,如果純粹利用方程方面的知識(shí)很難求解.此時(shí)教師可以提示學(xué)生結(jié)合方程與函數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行分析,使其根據(jù)原方程式構(gòu)造函數(shù),基于此找到解題思路[2].

由此可以確定原方程有一個(gè)解x=3.

綜上,該方程只有一個(gè)解,即為x=3.

3 有效構(gòu)造函數(shù),解答比較大小試題

分析通過(guò)觀察題干中的式子發(fā)現(xiàn)a,b,c三個(gè)表達(dá)式較為一致,這時(shí)可以采用整體思想仔細(xì)審視各個(gè)表達(dá)式,找出它們特征一樣的部分,然后利用自變量x表示出來(lái),由此構(gòu)造出函數(shù).當(dāng)構(gòu)造函數(shù)完成以后,就能夠把復(fù)雜的比較大小問(wèn)題轉(zhuǎn)變成自變量進(jìn)行比較的問(wèn)題[3].

綜上可得a>c>b.

4 有效構(gòu)造函數(shù),解答最值方面試題

分析本道題目較為特殊,通過(guò)分析可知要用到逆向推理法,按照“n-m的最小值、確定n與m的表達(dá)式、構(gòu)造函數(shù)、研究函數(shù)的單調(diào)性、計(jì)算出最小值”的步驟進(jìn)行解題.其中確定n和m的表達(dá)式時(shí)需要結(jié)合題意引入新的變量t,然后后續(xù)解題步驟根據(jù)t的取值問(wèn)題展開,最終輕松、簡(jiǎn)便地求出n-m的最小值.

解析結(jié)合題意令f(m)=g(n)=t(t>0),則

5 有效構(gòu)造函數(shù),解答數(shù)列方面試題

6 有效構(gòu)造函數(shù),解答幾何方面試題

當(dāng)x>1時(shí),x2-1>0,lnx>0,則g′(x)>0,故g(x)呈單調(diào)遞增.

由于x>1,所以g(x)>g(1)=0.

當(dāng)0g(1)=0.

綜上可得,恒有g(shù)(x)>0(x≠1),所以除切點(diǎn)以外,整個(gè)曲線C都位于切線l的下方.

總而言之,在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)活動(dòng)中,構(gòu)造函數(shù)有著極為廣闊的運(yùn)用空間,適用于不少類型的試題.教師應(yīng)以學(xué)生透徹理解并牢固掌握函數(shù)概念、性質(zhì)等理論知識(shí)為前提,結(jié)合實(shí)際題目?jī)?nèi)容選擇合適的函數(shù)形式進(jìn)行構(gòu)造,使其靈活借助構(gòu)造函數(shù)的優(yōu)勢(shì)簡(jiǎn)化解題步驟,降低試題難度,不斷增強(qiáng)學(xué)生有效應(yīng)用構(gòu)造函數(shù)的意識(shí),同時(shí)積累更多的解題經(jīng)驗(yàn).