基于“四新”背景下的運算算理分析
——以解析幾何為例

許沐英

(莆田第四中學,福建 莆田 351100)

基金項目：福建省電化教育館教育信息技術2022年度課題“基于數據支持下的以學力發展為中心的校本課程開發研究”(項目編號:KT2259);莆田市2022年度“十四五”閱讀專項課題“中學數學閱讀能力的教學策略研究”(項目編號:PTJYKT22348)

《普通高中數學課程標準(2017年版)》中指出:數學運算是指在明晰運算對象的基礎上,依據法則解決數學問題的素養.包括:理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、選擇運算方法、設計運算程序、求得運算結果等[1].由此可見,作為數學核心素養之一的數學運算地位顯赫,而解析幾何可謂運算素養的首席官.如何在新課程、新課標、新教材、新高考的背景下探究運算背后的本質?本文以解析幾何為例,選取教學實踐中的一些題例與君共賞.

1 巧設直線方程

解法1顯然斜率不為零.

(3m2+4)y2+6my-9=0.

所以S△AOB=S△OMA+S△OMB

解法2當k存在時,

(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.

所以S△AOB=S△OMA+S△OMB

總結解法1通過消去x直接得到關于y的一元二次方程,再利用韋達定理可以求得面積表達式;解法2通過消去y得到關于x的一元二次方程,再通過直線方程轉化求解|y1-y2|.在不同直線方程消元中,常見關系式及其處理方式如下:

2 巧用二級結論

圖1 橢圓方程

解析由橢圓的對稱性可知定點在x軸上,過橢圓上點A(x1,y1)上的切線方程為

過點B(x2,y2)的切線方程為

總結本題運用了圓錐曲線上的點的切線方程的二級結論,簡化了很多運算過程.圓錐曲線二級結論眾多,記住一些必要的二級結論,如圓錐曲線焦半徑統一公式、焦三角形的面積公式等,會在應試中如魚得水.

3 巧用同理推導

解析因為∠PCQ的角平分線垂直于x軸,所以CP和CQ的斜率互為相反數,可假設

①

②

總結聯立方程求解點P的坐標,可見數據之復雜.如果再次求解點Q的坐標,在高考有限的時間里基本上無法按時完成,巧用同理進行數據分析,此時的運算方向更為優化.

4 巧用對稱化

解析當k=0時,顯然不成立.

故設直線l:x=ty+n,

代入橢圓,得

(3t2+4)y2+6nty+3n2-12=0.

由韋達定理,得

注意到3y1+y2=2y1+(y1+y2)=0,

總結本題的重難點在于△OAB的面積求解中包含兩個變量n,t,如何統一變量才是解決本題運算的突破口,而條件3y1+y2=0是不對稱結構,面對這種不良結構常常需要對稱化處理找到本題兩個變量之間的關系,常用的幾種對稱處理如圖2.

圖2 常用對稱處理圖

5 巧用因式分解

解析若直線MN斜率存在時,設直線MN方程為y=kx+m,M(x1,y1),N(x2,y2),

根據kAM·kAN=-1,可得

(k2+1)(2m2-6)-4mk(km-k-2)+(1+2k2)(m2-2m+5)=0.

即3m2+8mk+4k2-2m-1=0.

方法14k2+8mk+3m2-2m-1=4k2+8mk+(3m+1)(m-1)=0.

方法24k2+8mk+3m2-2m-1=(2k+m-1)(2k+3m+1)=0.

總結此題關于k的二次函數運算遇到了攔路虎,方法1運用因式分解,方法2直線不過點A(2,1),必然含有因式2k+m-1=0,由多項式的除法可得(2k+m-1)(2k+3m+1)=0.

解析幾何的核心是把幾何問題翻譯為代數,而轉化過程中算法優化和簡化尤其重要.數學本質不僅僅是推理,更重要的是講道理.“四新”下的核心能力要求以學生為中心[1],作為一線教師更要注重教學生如何思考,通過以上幾種運算背后的思考才能真正讓解析幾何的運算簡單明了,從而落實國家提出的立德樹人的根本目標.