例析數(shù)列不等式放縮的處理途徑

白亞軍

(甘肅省永昌縣第一高級(jí)中學(xué),甘肅 金昌 737200)

熟記一些常見的放縮結(jié)論,掌握一些常見的放縮技巧很重要.在放縮過程中經(jīng)常用到的方法有:積分(函數(shù)法)放縮、裂項(xiàng)放縮、對(duì)偶放縮、分類放縮、二項(xiàng)式定理放縮、等比放縮等.

1 積分放縮

2 函數(shù)放縮

評(píng)注函數(shù)法即構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行放縮.記住基本結(jié)論:lnx≤x-1?ln(1+x)≤x.

3 對(duì)偶放縮

①

②

4 裂項(xiàng)放縮

4.1 分母整式型裂項(xiàng)

4.2 分母根式型裂項(xiàng)

5 等比放縮

6 分類放縮

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),不妨設(shè)n=2k,k∈N*,則

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),不妨設(shè)n=2k+1,k∈N*,同理可證.

7 二項(xiàng)式定理放縮

評(píng)注基本結(jié)論:①2n>2n+1(n≥3);②2n>n2+n+2(n≥5);③3n≥2n2+1(n≥2).

8 利用已證結(jié)論放縮

例9已知函數(shù)f(x)=ex-(x+1)ln(x+1)-1.

(1)當(dāng)x>0時(shí),證明:f(x)>0;

解析(1)由題意得f′(x)=ex-ln(x+1)-1,

設(shè)g(x)=ex-ln(x+1)-1,則

當(dāng)x>0時(shí),ex>1,x+1>1,則ex(x+1)>1.

從而g′(x)>0.所以g(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.故g(x)>g(0)=0.即f′(x)>0.所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x>0時(shí),f(x)>f(0)=0,即f(x)>0.

(2)由(1)知:當(dāng)x>0時(shí),

f(x)=ex-(x+1)ln(x+1)-1>0,

所以a1+a2+…+an>ln(n+1).