例析數列不等式放縮的處理途徑

白亞軍

(甘肅省永昌縣第一高級中學,甘肅 金昌 737200)

熟記一些常見的放縮結論,掌握一些常見的放縮技巧很重要.在放縮過程中經常用到的方法有:積分(函數法)放縮、裂項放縮、對偶放縮、分類放縮、二項式定理放縮、等比放縮等.

1 積分放縮

2 函數放縮

評注函數法即構造函數,利用函數單調性進行放縮.記住基本結論:lnx≤x-1?ln(1+x)≤x.

3 對偶放縮

①

②

4 裂項放縮

4.1 分母整式型裂項

4.2 分母根式型裂項

5 等比放縮

6 分類放縮

當n為偶數時,不妨設n=2k,k∈N*,則

當n為奇數時,不妨設n=2k+1,k∈N*,同理可證.

7 二項式定理放縮

評注基本結論:①2n>2n+1(n≥3);②2n>n2+n+2(n≥5);③3n≥2n2+1(n≥2).

8 利用已證結論放縮

例9已知函數f(x)=ex-(x+1)ln(x+1)-1.

(1)當x>0時,證明:f(x)>0;

解析(1)由題意得f′(x)=ex-ln(x+1)-1,

設g(x)=ex-ln(x+1)-1,則

當x>0時,ex>1,x+1>1,則ex(x+1)>1.

從而g′(x)>0.所以g(x)在(0,+∞)上單調遞增.故g(x)>g(0)=0.即f′(x)>0.所以f(x)在(0,+∞)上單調遞增.

所以當x>0時,f(x)>f(0)=0,即f(x)>0.

(2)由(1)知:當x>0時,

f(x)=ex-(x+1)ln(x+1)-1>0,

所以a1+a2+…+an>ln(n+1).