巧用動量定理解決電磁場中粒子復雜運動的問題

王漢權

(江蘇省錫山高級中學,江蘇 無錫 214174)

在處理電磁場中粒子運動時,學生一般都會采用描繪軌跡、尋求幾何關系或利用洛倫茲力不做功的特點結合動能定理解題,但有時會遇到粒子在若干電場、磁場交替的組合場或疊加場的物理情境,運動情況非常復雜,軌跡也很難直觀去描繪,動能定理有時也會相形見絀.這時候,如果注意到粒子兩個方向速度變化引起的洛倫茲力的沖量Ix=∑Bvyq·Δt=∑BqΔy和Iy=∑Bvxq·Δt=∑BqΔx,再結合粒子運動過程始末狀態的動量變化,就可以利用動量定理輕松突破因軌跡難描繪、過程難分析等解題瓶頸,從空間和時間兩個維度上完美解決粒子復雜運動的問題.

1 典型案例研究

例1在如圖1所示的xOy空間中有兩段連續的磁感應強度分別為B1和B2的勻強磁場(B1=2B2),磁感應強度方向均垂直紙面向里,兩段勻強磁場寬度分別為d1和d2(d1=d2),現有一質量為m、帶電為+q的粒子從坐標原點O沿x正方向以速度v0射入磁場B1,求粒子離開磁場B2時速度與水平方向偏角θ2的正弦值.

圖1 例1圖

1.1 模型建構剖析

圖2 模型1示意圖 圖3 模型2示意圖

1.2 思路變換求新

解題中采用了較為常規的畫軌跡找關系的思路,所以解題著重在尋找前后磁場間的半徑R與偏角θ間的數學關系.如果我們不單注意洛倫茲力提供向心力的動力特征和洛倫茲力不做功的能量特征外,再深層次分析洛倫茲力f作用的沖量If,由于粒子速度方向不斷變化,因此粒子所受洛倫茲力f的沖量并不為零!x方向上:洛倫茲力沖量Ifx是由Bvyq引起,即

-∑Bvyq·Δt=m(vx-v0)

①

y方向上:洛倫茲力沖量Ify是由Bvxq引起,即

∑Bvxq·Δt=mvy-0

②

1.3 方法總結體悟

利用動量定理來處理粒子復雜運動的問題,可以省去復雜軌跡不易描繪、幾何關系不易尋找、運動過程較難細致分析的麻煩,巧妙利用某一方向(如x方向)上位移x的累加Bq∑Δx或磁場B、位移x的累加q∑BΔx,與相垂直的方向(y方向)上動量變化m(Δvy)間構建了相互關聯,充分表現出動量定理在此類問題中的解題優勢.

例2(2008高考江蘇卷)在xoy坐標系中有一場強為B的水平勻強磁場,質量m、帶電+q的小球從原點O靜止釋放,小球運動軌跡曲線如圖4所示．已知此曲線在最低點時曲率半徑為該點到x軸距離的2倍,重力加速度取g．求:

圖4 例2圖

(1) 問略;

(2)小球在運動過程中第一次下降的最大距離yM.

解法1(高考卷標準解答):略

解法2(運動合成分解法):利用Bvxq=mg得到

③

④

解法3(動量定理法):粒子運動到最低點時,重力做功最多,所以速度最大vM且水平向右.之所以水平方向上速度從0變為vM,其實是粒子水平方向洛倫茲力fx與時間t累積的結果,利用動量定理∑Bvyq·Δt=m(vm-0)[2],而∑Bvyq·Δt=Bqym,所以

Bqym=mvm-0

⑤

綜合上述的三種不同解法,足可以看出當運動過程比較復雜時,動量定理解題不需要在過程細節上花費過多精力,但也需要有明確的審題導向:(1)過程多變復雜、幾何關系不容易尋找;(2)某一個方向上出現清晰的速度變化;(3)對應另一個垂直方向上的位移累積量或磁場B和位移的累積量清晰呈現,這時候 就可以優先考慮選擇動量定理來處理.此解法方向明確、方便快捷,同時又能避免題中“已知此曲線在最低點的曲率半徑為該點到x軸距離的2倍”多余條件和“曲率半徑”等多余概念的干擾.

2 規律遷移運用

2.1 粒子在若干連續電場、磁場組合場中復雜運動的處理

圖5 例3圖

解法1(常規尋求關系):略

解法2(動量定理法):粒子在第n層磁場恰好不能穿出,此時速度與邊界相切且方向向上,設速度為vyn,在第n組磁場中圓周運動的半徑為rn(下標表示粒子所在組數),根據動能定理得

⑥

再分析x、y兩個方向的運動,電場方向始終沿水平方向,并不能改變粒子在y方向的速度(動量),則從靜止釋放至恰好與第n組磁場邊界相切,在y方向上應用動量定理得

⑦

圖6

2.2 粒子在電場、磁場等疊加場中復雜運動的處理

例4(2013福建高考卷) 如圖7(a)所示,空間存在一范圍足夠大的垂直于xOy平面向外的勻強磁場,磁感應強度大小為B.讓質量為m、電荷量為q(q>0)的帶電粒子從坐標原點O沿xOy平面以不同的初速度大小和方向入射到該磁場中．不計重力和粒子間的影響.(1)(2)問略.(3)如圖7(b)所示,若在此空間再加入沿y軸正向、大小為E的勻強電場,一粒子從O點以初速度v0沿y軸正方向發射．研究表明:粒子在xOy平面內做周期性運動,且在任一時刻粒子速度的x分量vx與其所在位置的y坐標成正比,比例系數與場強大小E無關．求該粒子運動過程中的最大速度值vM[3].

圖7 例4圖

解法1(高考卷標準解答):結合軌跡可知,粒子運動到D點時沿電場方向位移yM最大,速度最大且沿水平方向,有

⑧

⑨

代入⑧式解出得

⑩

該解法比較常規,但尋求關系不容易,運算也較煩瑣.

解法2(動量定理解題): 粒子從O點運動到D點,水平方向速度從0變為vDm,此速度變化是由粒子洛倫茲力Bvyq與時間t累積引起,由動量定理得

∑Bvyq·Δt=Bqym=m(vDm-0)

從案例剖析到解法變換,可以看到處理粒子復雜運動的問題有多種解題方法,但不管選用哪種解法,也不管試題設置情境或所給條件發生什么樣的新穎變化,解題中一定要養成認真分析粒子受力和過程變化的良好習慣,還要重視一些關鍵信息的審題(如水平速度、最大速度、曲率半徑、恰好離開磁場等),然后就可以嘗試采用動力學或能量的觀點進行解題.當然如果發現仍然無法求解或解題過于復雜、繁瑣等情況時,就應當快速定位選用動量的觀點來解題.最后要說明一點是動量定理是反映合外力沖量與物體動量變化的規律, 因此使用動量定理時一定要構建物體所受的合力沖量和對應過程的動量變化的關聯,如在例3中,之所以輕松地用∑Bvxq·Δt=mΔvy求解y方向上速度變化,是因為粒子在y方向上僅存在由vx引起的洛倫茲力fy,但如果確實需要研究x方向上的運動情況,則需要加上電場力的沖量,建立∑(Eq-Bvyq)·Δt=mΔvx的方程,化簡得到Eq·t-Bq(y1+y2+…)=m(0-v0),倒是可以求解出粒子在電場中總時間t或粒子在所有磁場中運動y的累加量.