基于核心素養(yǎng)下的高一數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課
——由一道習(xí)題引起的“分段函數(shù)”問(wèn)題淺探

王曉丹

(江蘇省梁豐高級(jí)中學(xué),江蘇 蘇州 215600)

剛從初中升上高中的學(xué)生普遍不能立刻適應(yīng),都覺(jué)得高一數(shù)學(xué)難學(xué),數(shù)學(xué)成績(jī)出現(xiàn)嚴(yán)重滑坡,漸漸地他們認(rèn)為數(shù)學(xué)神秘莫測(cè),從而產(chǎn)生畏懼心理,動(dòng)搖了學(xué)好數(shù)學(xué)的信心,甚至失去了學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.如何根據(jù)學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平,幫助學(xué)生盡快適應(yīng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)特點(diǎn)和學(xué)習(xí)特點(diǎn),跨過(guò)“高臺(tái)階”,成為了高一數(shù)學(xué)教師的首要任務(wù)[1].本文以“分段函數(shù)”為例,對(duì)高一數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)進(jìn)行分析,以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

1 分段函數(shù)的定義

(1)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù),而不能誤認(rèn)為它是幾個(gè)函數(shù);

(2)分段函數(shù)的定義域是各段函數(shù)自變量范圍的并集,值域也是各段函數(shù)中y取值范圍的并集.

2 解決分段函數(shù)的兩種思想

2.1 分類討論,面面俱到

解析因?yàn)閒(-1)=11,

綜上,x的取值范圍是(-1,+∞).

點(diǎn)評(píng)解方程、不等式或求取值范圍時(shí),應(yīng)該根據(jù)自變量的分段范圍把分段函數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不同區(qū)間上的方程、不等式(組)求解,然后再取這些方程、不等式(組)解集的并集.

2.2 數(shù)形結(jié)合,化繁為簡(jiǎn)

分段函數(shù)雖然分段,但是當(dāng)遇到常規(guī)思路進(jìn)行處理難以奏效或計(jì)算冗繁的時(shí)候,通過(guò)分析分段函數(shù)的數(shù)量及圖形特征,可以嘗試從整體著眼,跳過(guò)常規(guī)解題步驟,尋求解決問(wèn)題的方法,這是分段函數(shù)考查的一個(gè)重要方面[2].

3 分段函數(shù)的幾類問(wèn)題

3.1 分段函數(shù)奇偶性相關(guān)問(wèn)題

在思考本題時(shí),學(xué)生很容易作出函數(shù)的圖象,但對(duì)于f(a-2)+f(a)>0的處理會(huì)出現(xiàn)困難,嘗試得到f(a-2)>-f(a),觀察所作圖象及奇函數(shù)定義可以判斷出函數(shù)f(x)為奇函數(shù),那么式子可以變形得到f(a-2)>f(-a),結(jié)合圖象得到f(x)在R上單調(diào)遞減,所以a-2<-a,解得a<1.

分析本題有兩個(gè)難點(diǎn)需要突破,首先要求解出a,b,c的值,可以利用分段函數(shù)的奇偶性:

當(dāng)x>0時(shí),f(x)=ax2-2x-1,則-x<0,f(-x)=(-x)2+b(-x)+c=x2-bx+c=ax2-2x-1.

利用待定系數(shù)法,我們很快能得到a=1,b=2,c=-1.

第二個(gè)難點(diǎn)是學(xué)生對(duì)于解的個(gè)數(shù)的理解,方程的解可以轉(zhuǎn)換為兩個(gè)函數(shù)圖象y=f(x)和y=t的交點(diǎn)問(wèn)題,結(jié)合偶函數(shù)圖象,得到實(shí)數(shù)t的取值范圍是(-2,-1).

3.2 分段函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題

3.3 絕對(duì)值函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題

對(duì)于函數(shù)解析式中帶有絕對(duì)值的問(wèn)題,我們?cè)撛鯓觼?lái)求它的單調(diào)區(qū)間和最值呢?

絕對(duì)值函數(shù)問(wèn)題初看上去不是一個(gè)分段函數(shù),但根據(jù)絕對(duì)值意義分類討論后,去掉絕對(duì)值,其本質(zhì)仍然是分段函數(shù)問(wèn)題.

變式7 已知函數(shù)f(x)=|x|(x-a)(a<0),求f(x)的單調(diào)區(qū)間.

變式8 設(shè)函數(shù)f(x)=-x2+a|x-1|,若f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

4 絕對(duì)值函數(shù)的最值問(wèn)題

分析因?yàn)?

羅增儒教授曾把解題總結(jié)為“條件預(yù)示可知并啟發(fā)解題手段,結(jié)論預(yù)告須知并誘導(dǎo)解題方向”.我們一線教師的根本任務(wù)就是幫助學(xué)生把一個(gè)個(gè)具體知識(shí)理解到位,并能用于解決實(shí)際問(wèn)題.這要求我們?cè)谌粘＝虒W(xué)中,要思考和貫徹新理念方法,從不同層面幫助學(xué)生進(jìn)一步加深對(duì)分段函數(shù)的理解并靈活應(yīng)用,從而在數(shù)學(xué)知識(shí)的教學(xué)中尋找發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的途徑.