橢圓內接等腰直角三角形的個數問題
——從2023年1月武昌區高三期末試卷第8題談起

李鴻昌

(北京師范大學貴陽附屬中學,貴州 貴陽 550081)

波利亞說:“一個有責任心的教師與其窮于應付煩瑣的數學內容和過量的題目,還不如適當選擇某些有意義但又不太復雜的題目去幫助學生發掘題目的各個方面,在指導學生解題的過程中,提高他們的才智與推理能力.”

1 試題呈現

2 試題解析

由弦長公式,得

整理,得b2k3-a2k2+a2k-b2=0.

從幾何直觀或者方程都明顯知道上述方程有一根為k=1,然后因式分解,得到

(k-1)[b2k2+(b2-a2)k+b2]=0.

①

下面討論方程b2k2+(b2-a2)k+b2=0根的個數,其判別式為Δ=(b2-a2)2-4b4=a4-2a2b2-3b4=(a2-3b2)(a2+b2).

圖1 橢圓內接等腰直角三角形

有讀者會問:另外的兩個等腰直角三角形該怎么確定?它們有怎樣的幾何關系?也有讀者會問:如圖1所示,根據橢圓的對稱性,當點B,C關于y軸對稱時,必有|AB|=|AC|;反過來,如果|AB|=|AC|,那么是否一定有B,C關于y軸對稱呢?

3 幾何背景

基于讀者的以上疑惑,下面我們來探究一下該題的幾何背景.

設方程b2k2+(b2-a2)k+b2=0的兩根為k1,k2,計算可得

(1)k1所對應的等腰直角三角形的確定:過頂點A(0,b)作斜率為k1的直線與橢圓E交于點B,再過A(0,b)作斜率為-k2的直線與橢圓E交于點C,則△ABC是以A為直角頂點的等腰直角三角形如圖2.

圖2 橢圓內接等腰直角三角形

(2)k2所對應的等腰直角三角形的確定:過頂點A(0,b)作斜率為k2的直線與橢圓E交于點B,再過A(0,b)作斜率為-k1的直線與橢圓E交于點C,則△ABC是以A為直角頂點的等腰直角三角形如圖3.

分析如圖3所示,設AB與x軸交于點M,∠AMO=α(其中tanα=k2);設AC與x軸交于點N,∠ANO=β(其中tanβ=k1).由于k1k2=1,所以α與β互余.即α+β=π/2.故AB⊥AC.

此時△ABC是以A為直角頂點的等腰三角形.注意到,圖3中的△ABC與圖2中的△ABC是關于y軸對稱的.

這時,也許還有讀者會問:以上的做法只能確定AB⊥AC成立,但還不能確定|AB|=|AC|是否成立.事實上,因為橢圓方程是確定的,所以k1,k2也是確定的,根據前文的試題解析過程可知,這樣的做法可以確定|AB|=|AC|是成立的.

4利用超級畫板探究

為了更加形象、直觀,筆者通過超級畫板做了進一步的探究.

圖4 橢圓內切于圓

圖5 橢圓與圓有4個交點

5 一個特例

筆者查閱文獻,發現與期末考試題類似的題曾在2006年山東省數學競賽試題中出現過,它就是期末考試題的一個特例.試題如下: