數形結合思想在解立體幾何題中綻放
——兼談2022年全國高考立體幾何解答題

洪昌強

(浙江省臺州市第一中學,浙江 臺州 318000)

縱觀2022年全國各地高考立體幾何解答題,常以三棱錐、三棱柱等幾何體為背景, 如北京高考卷第17 題、 全國新高考Ⅰ卷第19題、2022年浙江高考卷第19題、全國高考乙卷理科第18題等.在處理這些空間問題時,通過建立形與數的聯系,探索解決問題的思路.高考以此考查學生運用數形結合思想的能力,檢測學生的直觀想象素養.下面以2022年全國各地高考立體幾何解答題部分試題為例,對解題思路進行剖析.

1 由形定性,以性助數

例1(2022年北京高考卷第17題)如圖1,三棱柱ABC-A1B1C1中,側面BCC1B1為正方形,平面BCC1B1⊥平面ABB1A1,AB=BC=2,M,N分別是A1B1,AC的中點.

圖1 2022年北京高考卷第17題圖 圖2 例1解析圖(a)

(1)求證:MN∥平面BCC1B1;

(2)從以下兩個條件①AB⊥MN;②BM=MN中選一個作為已知,求直線AB與平面BMN所成角的正弦值.

分析考查三棱柱ABC-A1B1C1的結構特征:從側面BCC1B1為正方形得CB⊥BB1且CB=BB1,得知這個三棱柱的底面是等腰三角形,一個側面是正方形.條件“平面BCC1B1⊥平面ABB1A1”有何作用?此時自然想到平面與平面垂直的性質.并由此得∠CBA=90°.又因為AB=BC=2,所以底面CBA是等腰直角三角形.表明三棱柱ABC-A1B1C1雖然還沒有確定,但可以將三棱柱ABC-A1B1C1視為由等腰Rt△CBA和等腰Rt△C1B1A1分別沿BC和B1C1翻折而成,如圖2,并且三棱柱隨二面角C1-CB-A的平面角∠B1BA大小而變動.

對于第(1)問,雖然三棱柱還沒確定,但幾何體的一些特征可以確定, 取AB中點為O,因為N為AC中點,M為A1B1中點,則MO∥BB1,NO∥BC.因此,平面MNO∥平面BCC1B1,即得MN∥平面BCC1B1.

圖3 例1解析圖(b)

評注一個幾何體的特征,常常在點、線、面之間位置關系中體現,而點、線、面之間位置關系必定存在相對應的數量關系.本題的關鍵是由條件“側面BCC1B1為正方形,平面BCC1B1⊥平面ABB1A1”和平面與平面垂直的性質定理推斷出“∠CBA=90°”.由條件“AB⊥MN(或BM=MN)”推斷出“∠ABB1=90°”.由形得數的過程,就是從觀察幾何圖形中點、線、面的位置關系著手,尋找幾何特性,從中挖掘有價值的數量關系,然后將各個信息聯合在一起,通過邏輯推理,推斷出有價值的結論.

2 以數養性,以性定形

圖4 2022年全國新高考Ⅰ卷第19題圖 圖5 例2解析圖

(1)求A到平面A1BC的距離;

(2)設D為A1C的中點,AA1=AB,平面A1BC⊥ 平面ABB1A1,求二面角A-BD-C的正弦值．

3 數形互化,以性制勝

例3(2022年浙江高考數學第19題)如圖6,已知梯形ABCD和CDEF都是直角梯形,AB∥DC,DC∥EF,AB=5,DC=3,EF=1,∠BAD=∠CDE=60°,二面角F-DC-B的平面角為60°．設M,N分別為AE,BC的中點．

圖6 2022年浙江高考數學第19題圖 圖7 例3解析圖

(1)證明:FN⊥AD;

(2)求直線BM與平面ADE所成角的正弦值.

評注利用幾何綜合法求直線與平面所成角大小,關鍵是尋找直線在平面上的射影.在研究比較復雜的幾何體時,幾何體的一些重要幾何特征常被遮掩,導致解題思路受阻.本題條件給出的幾何體是一個五面體,點B在平面ADE上的投影點位置較難發現.根據條件所提供的數量關系,通過數形結合思想,感知BM與平面ADE有特殊位置關系,由此獲得有價值的重要解題信息,被隱藏的直線與平面所成角才顯露出來.試題給學生提供了較大的思考空間,對知識之間的聯系、直觀想象等素養做了深入的考查,突出了對發散性思維和創新性思維的考查.

例4(2022年全國高考數學乙卷理科第18題)如圖8,四面體ABCD中,AD⊥CD,AD=CD,∠ADB=∠BDC,E為AC中點．

圖8 2022年全國高考數學乙卷理科第18題圖 圖9 例4解析圖

(1) 證明:平面BED⊥ 平面ACD;

(2) 設AB=BD=2,∠ACB=60°,點F在BD上,當 △AFC的面積最小時,求CF與平面ABD所成角的正弦值．

分析對于第(1)問, 以形定性,由AD=CD,∠ADB=∠BDC,得△ADB≌△CDB,四面體具有對稱性.又因為E為AC中點,AB=CB,所以,BE⊥AC,DE⊥AC,即AC⊥平面BDE,故平面BED⊥ 平面ACD.

評注本題的幾何體特征沒有直接給出,而是從條件所提供的有關各個數量關系中,發現幾何體中相關的點、線、面所處的位置有良好的特性,受這些特性的啟發,激活了解題思路.在研究空間幾何體各種距離和角時,如何找到平面垂線的合適位置,是解決問題的關鍵,而平面與平面垂直的性質定理在找平面的垂線中可以發揮重要作用.在處理立體幾何一些問題中,以數定性、由性求數、數形互化,是解題常用的重要思想方法.

如何靈活運用數形結合思想,提高空間想象能力?首先,需要扎實的幾何基本知識.合理、有效的想象需要一定知識和經驗積累支撐,幾何概念、公理、定理和性質是想象的根基,也是直觀想象合法保障.具有扎實的幾何基本知識,才能使幾何直觀想象有理有據,使空間想象力合乎理性、有邏輯.其次, 準確把握幾何體的結構特征.數量關系是空間結構不可或缺的重要組成部分,無非是我們眼睛不能直視,需要我們進行抽象概括,然后以純粹的形式進行演算、推理與證明.因此,在解決立體幾何題時,既要挖掘隱含在幾何體中的數量關系,又能從數量關系中推斷幾何特性.最后,重視從動態思維審視幾何體.由于幾何圖形為了直觀性,圖形中數量有“失真”,其中的一些數量從表面上看與真實的數量并不相符,直接影響對幾何體的正確認識和理解.可以通過“拆”解幾何體,將空間圖形轉化為平面圖形,為數形結合提供良好的環境[1].