對2022年高考數學北京卷第19題的探究

高繼浩

(四川省名山中學,四川 雅安 625100)

(1)求橢圓E的方程;

(2)過點P(-2,1)作斜率為k的直線與橢圓E交于不同的兩點B,C,直線AB,AC分別與x軸交于點M,N.當|MN|=2時,求k的值.

1 解法探究

解法1 如圖1,顯然k<0.直線BC的方程為y=k(x+2)+1,與橢圓方程聯立,消去y得

圖1 2022年高考數學北京卷第19題圖

(4k2+1)x2+8(2k2+k)x+16(k2+k)=0.

設B(x1,y1),C(x2,y2),則由韋達定理得

故|x1-x2|=|k|·|(x1+2)(x2+2)|.

=|k|·|x1x2+2(x1+x2)+4|.

因為k<0,故k=-4.

點評本解法聯立直線與橢圓方程,借助韋達定理,采用“設而不求”的方法,思維量小,是比較自然而且容易想到的方法,關鍵就是要注意運算的準確性.

解法2 當|MN|=2時,直線AB,AC的斜率都存在,設直線AB,AC的方程分別為

y=k1x+1,y=k2x+1.

聯立直線AB與橢圓的方程,消去y,得

由kPB=kPC,得

化簡,得(k1-k2)(k1+k2-4k1k2)=0.

代入可得k=kPB=-4.

點評本解法分別設出直線AB,AC的方程,與橢圓方程聯立將B,C兩點的坐標解出,通過P,B,C三點共線及|MN|=2來建立兩直線的斜率關系求解,運算量稍大,但解題思路簡明[1].

解法3 因為直線BC不過點A(0,1),故可設其方程為mx+n(y-1)=1.

將直線BC的方程代入,得

當|MN|=2時,直線AB,AC的斜率都存在,故x≠0,上式兩邊同時除以x2,得

設直線AB,AC的斜率分別為k1,k2,則k1,k2是關于k的一元二次方程的兩根,故

直線AB的方程為y=k1x+1,

所以直線BC的方程為4x+y+7=0.

即k=-4.

點評本解法通過齊次化方法構造出以k1,k2為兩根的一元二次方程,再借助根與系數的關系求解,運算量較小,齊次化方法是解決從一點出發的兩直線斜率和、積問題的利器.

代入橢圓方程消去x,得

(m2+4)y2-2m2y+m2-4=0.

即(m-n)(m+n+4)=0.

由|MN|=2,知|m-n|=2.

所以m+n=-4.

代入可得k=kPB=-4.

點評本解法與解法2都是通過P,B,C三點共線及|MN|=2來建立關系求解,解題思路一致,但本解法通過直接設出M,N兩點的坐標切入,使得運算量明顯減少[2].

解法5 設B(2cosα,sinα),C(2cosβ,sinβ),則

代入可得k=kPB=-4.

點評本解法通過橢圓的參數方程設出B,C兩點的坐標,再利用三角公式求解,運算時恰當地運用變量代換使過程簡潔.此法打破了傳統模式,體現了創新,有利于培養發散思維.

2 定值結論

從前面的解法2和解法4可以看到M,N兩點的橫坐標之和為定值,于是進行一般化探究得到:

借助幾何畫板探究發現:當保持點P的縱坐標不變,改變其橫坐標時仍有相應的定值.于是將結論1進一步推廣得到:

由于結論2比結論1更具一般性,故只證結論2.

證明顯然k≠0.直線BC的方程為y=k(x-t)+b,與橢圓方程聯立,消去y得

(a2k2+b2)x2+2a2k(b-tk)x+a2tk(tk-2b)=0.

設B(x1,y1),C(x2,y2),則由韋達定理得

將結論2中上頂點改為右頂點后探究得到:

對雙曲線進行與結論3類似的探究得到:

結論3和結論4的證明與結論2類似,讀者可自行證明.