考查關鍵能力 體現核心素養
——2022年新高考Ⅰ卷數學第7題的探究及啟示

王東海

(安徽省肥東縣城關中學,安徽 合肥 231600)

A.a

分析此題中三數數值差距很小,若采用常規的作差法、作商法比較大小難以奏效.觀察其結構特點,可嘗試構造函數,再輔之于求導判斷其單調性去比較大小.

1 解法探究

lna-lnb=x+lnx-[lnx-ln(1-x)]

=x+ln(1-x),x∈(0,0.1].

令f(x)=x+ln(1-x),

所以f(x)=x+ln(1-x)在(0,0.1]上單調遞減,從而f(x)

即lna-lnb<0.

故a

又a-c=xex+ln(1-x),x∈(0,0.1],

令g(x)=xex+ln(1-x),則

再令h(x)=(1+x)(1-x)ex-1,所以

h′(x)=(1-x2-2x)ex>0.

所以h(x)>h(0)=0.

故g′(x)>0.

從而g(x)>g(0)=0.

即a>c,故選C.

視角2 在構造函數時,也可不用函數的單調性去處理,而是用函數的增長速度比較大小.

f(0)=g(0)=h(0).

又a=f(0.1),b=g(0.1),c=h(0.1).

而f′(x)=ex+exx,

又因為ex>1,x+2>2,

所以ex(x+2)>2.

又0.81≤(1-x)2<1,

所以y′>0.

即f′(x)>h′(x).

所以g′(x)>f′(x)>h′(x).

由f(x),g(x),h(x)的增長速度可知,

h(0.1)

從而c

故選C.

評注此法巧妙地使用函數的增長速度比較三數大小,顯得簡潔明了.

視角3 此題出現的幾個式子都與ex,lnx有關,這里還可以考慮利用ex和lnx的放縮不等式嘗試比較大小.

解法3 由切線放縮不等式知

ex>x+1,x∈(0,0.1].

故e-x>-x+1.

又因為a=0.1e0.1>0.1×(0.1+1)=0.11,

而當0

即a>c.

綜上,c

故選C.

評注這類放縮不等式平時都會有所涉及,只要我們能夠足夠重視,運用起來就會得心應手.

視角4 函數的泰勒展開式,對于比較大小往往會化繁為簡.

解法4 根據泰勒公式知,

由此而知,

a=0.1e0.1

≈0.110 5.

≈0.104 9+o(10-2).

綜上,c

故選C.

評注泰勒公式雖是估值計算,但對解決選填題的比較大小問題,不失為一種快速有效的方法.

2 背景分析

此式兩邊求導得

讓學生記住泰勒公式,既可以用于快速比較大小,還可用于對函數按要求進行放縮,直至達到目的.在高考全國卷中,泰勒公式可以多次解決有關難題,比如:

≈0.989 6.

從而b>a>c.

A.a

C.b

故a=2ln(1+0.01)

b=ln(1+0.02)

觀察上面三式易得,b

題3設函數f(x)=ex-1-x-ax2≥0對x∈[0,+∞)恒成立,求實數a的取值范圍.

解析因為f(x)=ex-1-x-ax2≥0,

所以ex≥1+x+ax2.

上面這道高考題的解法5運用到了高數中的部分知識,事實上近年來的高考題往往有高數的背景,如高數中的泰勒級數、洛必達法則、拉格朗日中值定理、函數的凸凹性、空間解析幾何等時有出現,運用這些知識可以很快給出解答[2].筆者平時的教學也會根據學生情況進行分層教學,適當滲透一些高數知識,如讓學有余力的學生記住常用函數泰勒展開式、拐點等.

3 追本溯源

使用你的計算工具計算cos0.3,并與上述結果比較.考題是以這些課本習題為藍本進行命題的,因此筆者在平時的實際教學中重視對課本例、習題的挖掘,尤其是對教材中的“好題”的挖掘,所謂好題,就是指蘊含豐富的數學思想、開闊的思路、廣闊的切入點的課本例、習題.針對這些好題,挖掘其中的高等數學背景、剖析背后的數學本質、感悟試題設計所蘊含的數學思想等,為高考打好基礎.