優化運算方法 提升運算素養
——以2022年高考數學全國Ⅰ卷第21題為例

黃錦哲

(廈門市同安實驗中學,福建 廈門 361100)

課程標準提出:數學運算是指在明晰運算對象的基礎上,依據運算法則解決數學問題的素養.數學運算主要包括:理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、選擇運算方法、設計運算程序與求得運算結果[1].解析幾何與數學運算有著密切的聯系.一方面,解析幾何問題的解決需要借助數學運算;另一方面,數學運算素養的提升需要解析幾何這一載體.高考中的解析幾何問題往往綜合性較強且變量比較多,導致運算量大,學生存在畏難情緒.所以,解讀問題的本質,剖析算理的意義,總結各種算法的優劣,達成數學運算素養的培養,是解析幾何教學的重要任務[2].

1 問題呈現

(1)求l的斜率;

評注本題主要考查雙曲線的方程、直線與雙曲線的位置關系、三角形的面積等基礎知識;考查推理論證、運算求解以及創新能力;考查邏輯推理、數學運算和直觀想象等數學核心素養.

2 問題剖析

(1-2k2)x2-4mkx-2m2-2=0.

即2kx1x2+(m-1-2k)(x1+x2)-4(m-1)=0.

化簡,得(k+1)(2k-1+m)=0.

所以k=-1或m=1-2k.

當m=1-2k時,直線l:y=kx+m=k(x-2)+1過點A(2,1),與題意不符,舍去,故k=-1．

以下通過改變運算方法來簡化運算.

2.1 同理類比,事半功倍

直線AP的方程為y-1=k(x-2),

(1-2k2)x2-(4k-8k2)x-8k2+8k-4=0.

由于x=2為方程的一根,

2.2 設而不求,搭梯登頂

又點P,Q在曲線C上,所以有

整理,得

x1x2-2(x1-x2)+2y1y2+2(y2-y1)-6=0,

x1x2-2(x2-x1)+2y1y2+2(y1-y2)-6=0.

作差,得-4(x1-x2)-4(y1-y2)=0.

2.3 平移坐標,簡化運算

2.4 巧用齊次,化繁為簡

將x′,y′代入雙曲線的方程可得

x′2-2y′2+4x′-4y′=0.

直線l與雙曲線聯立得

x′2-2y′2+4(x′-y′)(mx′+ny′)=0.

2.5 高觀導向,未算先知

即2a2my0-2b2nx0=0.

第(2)問也有多種解法,筆者介紹兩種方法.

2.6 數形結合,以形助數

如圖1,過點P作PM∥x軸,交AQ于點M.

圖1 雙曲線右支圖

顯然P,M兩點關于直線x=2對稱.

所以S△PAQ=S△PAM+S△QPM

2.7 巧設方程,絕處逢生

(2+t1cosα)2-2(1+t1sinα)2=2.

“多思少算”是數學高考命題的指導思想,在解析幾何教學中要注重對運算對象的理解、運算目標的確定,要給學生足夠的時間和空間探索運算思路和方法,要重視演示運算過程中出現的難點,鼓勵學生進行解后反思,優化運算方法,提升運算素養.