一道“蒙日圓”背景下的題目分析與探究

谷紅亮

(銀川市第六中學,寧夏回族自治區 銀川 750011)

“蒙日圓”曾出現于2014年廣東卷,隨后在各省份的模考題中以此為背景被反復創新.本文以“蒙日圓”為背景的一道試題為例進行探究,呈現出了問題的分析路徑,進而探索找到了涉及該問題的試題特點,如定點問題、三點共線問題及面積范圍問題等,希望起到拋磚引玉的作用.

1 題目呈現

表面平平無奇的題目,仔細思考可以發現其中豐富的內涵.初看題目是一個存在性問題,涉及了圓的知識、橢圓的切線等,但是該題的題眼是“兩條切線相互垂直”,所以需要進一步思考如何利用這一條件才能順利解決該題目[1].下面從橢圓的切線方程談起.

2 橢圓切線方程問題

2.1 橢圓上某點處的切線方程

此時點P(x0,y0)處的切線斜率為

2.2 切點弦方程

又直線PA,PB均過點P(x0,y0),代入得

運用橢圓的切點弦方程,可以擴展出兩種題型——定點問題和三點共線問題.

則lAB:3mx+4(m+1)y-12=0.

整理,得m(3x+4y)+4y-12=0.

所以直線AB過定點(-4,3).

所以O,M,P三點共線,也即OP平分弦AB.

3 蒙日圓

又PA⊥PB,所以kPA·kPB=-1.

綜上所述,點P的軌跡為圓x2+y2=a2+b2.

4 以“蒙日圓”為背景的面積問題

又點P(x0,y0)到直線AB距離為

本文對以“蒙日圓”為背景的模考題進行了解題分析和思考探究,希望學生能夠學會分析題目,教師能夠在已知的題目下,引導學生多加思考,真正做到舉一反三.此過程可以很好地鍛煉學生的邏輯思維能力和運算求解能力,從而跳出“題海戰術”的怪圈,適應新高考對考生的要求.