2020年全國Ⅲ卷理科第12題新解及命題思路探究

代紅軍 何 波

(1.云南師范大學數學學院,云南 昆明 650500;2.昆明市官渡區第六中學,云南 昆明 650500)

對數比較大小是高考的熱點和難點題型,主要以填空題、選擇題的形式出現,試題難度大.近幾年試題展現出一定的創新性,考查學生的數學運算、數據處理、數學抽象等核心素養,要求學生掌握必備的知識和解決此類問題的關鍵能力.筆者對《數理化解題研究》2022年第34期文章《對數比較大小試題的解法探究兩例》中變式應用環節的變式1解法提出疑問,指出錯誤原因并給出新解.

1 問題提出

《數理化解題研究》2022年第34期《對數比較大小試題的解法探究兩例》變式應用環節的變式1.

變式1設a=log23,b=log35,c=log58,則( ).

A.a

C.a

同理可得log35

2 新解探究

2.1 高考試題再現

題目(2020年全國Ⅲ卷理科第12題)已知55<84,134<85.設a=log53,b=log85,c=log138,則( ).

A.a

C.b

分析試題命制的創新之處是給出了一組參考數據,如何運用參考數據是破解此題的關鍵,不同的運用方式能帶來不同的解法,我們從三個角度運用參考數據,提煉出新的解法.

因為b=log85,得8b=5.所以85b=55<84.

2.2 新解呈現

針對上面兩個問題,筆者提出對數比較大小的另一種方法,叫二分法尋找中間量.方法介紹及操作流程,筆者通過具體例題呈現.2020年全國Ⅲ卷理科第12題如不用參考數據,得到如下變式[1].

變式設a=log53,b=log85,c=log138,則( ).

A.a

3 新解應用

應用1《數理化解題研究》2022年第34期文章《對數比較大小試題的解法探究兩例》變式應用環節的變式1.

正解顯然a,b,c∈(1,2).

表1 應用1的解析過程

應用2(必修第一冊第141頁第13題(2))比較log23,log34,log45的大小.

解析顯然log23∈(1,2),log34∈(1,2),log45∈(1,2).

表2 應用2的解析過程

用二分法尋找對數比較大小的中間量的方法,能明確命題人命制試題的思路和意圖,在教學和考試中可以對試題進行改編,發揮試題的變式教學功能,實現一題一課、一法多用的教學作用.教學過程要體現“學生主體、教師主導、問題主線、思維主攻”的思想[2],對數比較大小方法多樣,教師從不同視角提出問題,引導學生主動探究不同的解法,發現不同解法之間的關聯,有助于發展學生思維.