融合聯合反向學習與宿主切換機制的?魚優化算法

賈鶴鳴，文昌盛，吳 迪，饒洪華，劉慶鑫，力尚龍

1.三明學院 信息工程學院，福建 三明 365004

2.三明學院 教育與音樂學院，福建 三明 365004

3.海南大學 計算機科學與技術學院，海口 570228

優化通常用來在特定問題中找到最佳的解決方案，然而隨著科學技術的持續發展，實際問題的復雜性不斷提高，對優化技術的需求愈發明顯。元啟發式優化算法由于其簡單性、靈活性和無推導機制受到了眾多學者的關注。近十年來提出了諸多元啟發式優化算法如灰狼優化算法（grey wolf optimizer，GWO）[1]、蛇優化算法（snake optimizer，SO）[2]、黏菌優化算法（slime mould algorithm，SMA）[3]、正余弦優化算法（sine cosine algorithm，SCA）[4]、哈里斯鷹優化算法（harris hawks optimization，HHO）[5]、算術優化算法（arithmetic optimization algorithm，AOA）[6]等，并利用它們解決了許多復雜的工程問題。但是，根據無免費午餐（no-free-lunch，NFL）定理[7]，如果一個算法對一類問題的平均表現特別好，那么它必須在剩下的問題上的平均表現更差。因此沒有一種優化算法可以解決所有問題，對算法的優化和進一步改進就顯得十分重要[8-9]。常見的優化方法有很多，有對種群初始化的方式進行優化，例如混沌精英初始化[10]；更為有效的是對算法本身進行優化，例如反向學習策略[11]、變異策略[12]、重啟策略[13]和融合算法[14]等，許多算法進行優化之后，搜索能力都得到加強，能夠解決更加復雜的實際問題[15-16]。

綜合參考上述關于ROA 的改進，針對ROA 存在的問題，本文提出了一種融合聯合反向學習與宿主切換機制的?魚優化算法（improved remora optimization algorithm，IROA）。在探索階段加入宿主切換機制，隨機選擇旗魚和白鯨作為宿主，提高了ROA的探索能力；同時加入聯合反向學習策略，有效防止算法陷入局部最優，更好地平衡了算法的探索與開發階段。通過以上兩種策略的綜合作用，提高了ROA的尋優能力和收斂精度，加強了算法的全局搜索能力。仿真實驗選取CEC2020來測試IROA的性能，同時選取汽車防碰撞設計問題進行測試，實驗結果進一步驗證了IROA的魯棒性與工程適用性。

1 ?魚優化算法

?魚優化算法的靈感來源于海洋中?魚的寄生行為。為了免受敵人的入侵，同時也為了節省體力，?魚會寄生在宿主身上跟隨宿主移動。魚優化算法有兩個階段，即探索階段和開發階段。探索階段魚會吸附在旗魚身上，旗魚是海洋中速度最快的魚，它們通常會成群捕獵，它們特有的狩獵方法是輪流攻擊精英戰術；開發階段?魚會吸附在鯨魚身上，鯨魚的體積大，經常單獨捕獵。?魚優化算法提取了旗魚優化算法中旗魚的更新公式和鯨魚優化算法中鯨魚氣泡網攻擊法作為?魚的運動公式。此外，當周圍食物變少時，?魚會選擇更換宿主。為了確定是否需要更換宿主，還需要圍繞宿主進行小范圍移動，即經驗攻擊。如果不改變宿主，則會通過宿主獲得食物，即宿主覓食模式。

1.1 初始化種群

在ROA中，初始化?魚種群位置的計算公式如下：

其中，Ri,j表示?魚i在第j維度的位置，ubj和lbj分別表示搜索空間的上界和下界，r1為0 到1 之間的隨機數。

1.2 自由旅行(探索階段)

1.2.1 旗魚策略

當?魚吸附在旗魚身上時，?魚會跟隨旗魚移動，可以認為?魚的位置更新與旗魚同步。此外，基于旗魚優化算法的精英策略，對其位置更新進行了改進，其計算公式如下：

式中，t為當前迭代次數，Rit+1表示更新之后的?魚個體i的位置，RBestt表示更新之前最優個體的位置，rand函數可以產生0 到1 之間的隨機數，Rrandt為更新之前?魚個體的隨機位置。

1.2.2 經驗攻擊

?魚吸附在宿主身上時，還會在宿主周圍進行小范圍的試探性移動，判斷是否需要更換宿主。該過程類似經驗上的積累。對以上思想建立數學模型，其計算公式如下：

式中，Rpre表示上一代魚的位置，可以看作一種經驗；Ratt是魚基于經驗的一次試探性小范圍移動。這種機制通過randn函數在當前位置和上一代位置之間隨機生成一個新位置Ratt，通過比較Ratt與當前位置的適應度判斷宿主周圍食物是否充足，是否需要更換宿主。

更換宿主的公式如下：

式中，H(i)決定了魚的宿主，初始為0 或者1，若H(i)等于0，則吸附鯨魚，若H(i)等于1，則吸附旗魚，round 為四舍五入的函數，f()和f(Ratt)分別為與Ratt的適應度值。

1.3 細細品味(開發階段)

1.3.1 鯨魚策略

其中，D表示位置更新前的最優位置與當前位置之間的距離，k為-1 到1 之間的隨機數，a在迭代中會在[-2,1]之間線性遞減，T為最大迭代次數。

1.3.2 宿主覓食

宿主覓食是開發階段的進一步細分，這個階段最佳搜索空間縮減為宿主的位置空間，此時魚在宿主周圍進行小范圍移動，其具體計算公式如下所示：

其中，A代表魚的移動距離，其值和魚與宿主的位置空間有關；為了區分宿主和魚在搜索空間中的位置，使用魚因子C來縮小魚的位置，本文C的值選取0.1；由于宿主的體積是隨機的，用B模擬宿主的體積；V表示魚的體積。

2 改進的?魚優化算法

ROA 的機制簡單，易于實現，并被廣泛應用于解決優化問題，但面對復雜度較高的問題時，其探索能力較弱，全局搜索能力不足，容易出現陷入局部最優和收斂精度差的問題。雖然經驗攻擊有一定跳出局部最優的能力，但這僅是?魚在宿主周圍的一次試探性移動，搜索范圍小且全局性有限。此外，探索階段時魚吸附在旗魚身上，而旗魚是群體捕食模式，受群體的影響可能性較大，容易陷入局部最優，致使探索能力不足。因此，本文提出了一種融合聯合反向學習和宿主切換機制的?魚優化算法，通過加入聯合反向學習策略，提高算法跳出局部最優的能力；同時在探索階段引入宿主切換機制，隨機選擇白鯨與旗魚作為宿主，白鯨與旗魚策略相互配合，能更加有效提升算法的搜索能力。

聯合反向學習在加強了算法全局能力的同時，也能進行局部調整。宿主切換機制引入白鯨作為宿主，克服了原始ROA中旗魚搜索跨度過大的缺點，使算法的全局搜索更加細致。綜合兩種策略，在提高ROA 全局性能的同時，也一定程度上提高了ROA 的開發能力。

2.1 聯合反向學習

聯合反向學習結合了選擇性領先反向和動態反向的優勢，有助于平衡算法的探索階段與開發階段，有效提高了算法的性能。選擇性領先反向會對小于閾值的維度進行反向，個體位置的變化幅度較小，一定程度加強了算法的開發能力。動態反向是概率性的，并且會在搜索空間內大范圍移動，有助于提高算法的全局性能，讓算法跳出局部最優。兩者結合而提出的聯合反向相比傳統的反向學習策略，在提高算法的全局性能的同時，也提高了算法的開發能力。

2.1.1 選擇性領先反向

選擇性領先反向是從選擇性反向[22]思想擴展而來，通過計算當前個體與當前最優個體之間每個維度的距離，并與一個閾值做對比，分成近距離維度和遠距離維度兩組，同時通過斯皮爾曼的等級相關系數比較當前個體與最優個體的相關性，若相關性小于0，則對個體的近距離維度進行反向學習。相較于選擇性反向對遠距離維度進行反向學習，選擇性領先反向的跨度較小，不易遠離最優位置。

以二維問題為例，如圖1 所示。B為當前最優個體，P1、P2、P3為當前個體，假設閾值為2，P1與B第一維度的距離為5，第二維度的距離為1，與閾值相比，第一維度之間的距離大于閾值，第二維度之間的距離小于閾值，因此僅對第二維度進行選擇性領先反向；同理對于P2，僅需要對第一維度進行選擇性領先反向，對于P3，第一維度與第二維度均需要進行選擇性領先反向。

圖1 選擇性領先反向二維示意圖Fig.1 Two dimensional schematic diagram of selective leading opposition

選擇性領先反向的計算公式如下：

式中，Ri,dc為?魚個體的近距離維度，為?魚個體近距離維度的反向位置，src為斯皮爾曼等級相關系數，ddi,j為當前個體i在第j個維度上與當前最優個體的距離，size(dc)為個體近距離維度數量，size(df)為個體遠距離維度數量。

計算個體的size(dc)和size(df)需要通過式（10）計算最優個體與當前個體之間每個維度的距離，并與閾值比較，大于或等于閾值的為遠距離維度，小于閾值的為近距離維度，閾值通過式（9）來計算。

式中，RBest,jt為最優個體第j個維度的位置，Ri,jt為當前個體i在第j個維度的位置。

2.1.2 動態反向

動態反向是由Xu 等[21]融合準反向[23]與準反射[24]思想提出的，優點在于它能夠動態地搜索空間，且在搜索空間中不對稱地移動，有助于算法接近全局最優解，具體計算公式如下：

2.2 宿主切換機制

雖然旗魚的游速快，但對解空間的搜索未必全面，而白鯨也是海洋中的一種生物群體，白鯨搜索時相對緩慢且仔細，與旗魚相互協調能有效增強算法的全局搜索性能，因此本文在算法探索階段加入宿主切換機制，使魚能夠隨機選擇兩種宿主。魚選擇白鯨作為宿主的概率設為Pr，則選擇旗魚作為宿主的概率為1-Pr。為了更有效率地對搜索空間進行探索，將Pr的值設為0.5，3.8 節給出了Pr的敏感度分析。

當選擇白鯨作為宿主時，參考了白鯨優化算法中探索階段的更新公式。白鯨優化算法模擬了白鯨的捕食行為，其探索階段是通過考慮白鯨的游泳行為建立的，通常為兩對白鯨以同步或鏡像的方式游泳。其計算公式如下：

若新位置超出邊界，則通過式（15）將超出邊界的維度拉回邊界。

2.3 IROA 的偽代碼與流程圖

IROA 的偽代碼如下所示：

IROA 的流程圖如圖2 所示。

圖2 IROA 的流程圖Fig.2 Flow chart of IROA

2.4 計算復雜度分析

計算復雜度是評價一個算法的重要的指標，IROA 的復雜度主要來源于初始化、種群的位置更新和評估適應度值。種群初始化的復雜度為O(N×dim)。位置更新的復雜度包括多方面，寄生在旗魚、鯨魚和白鯨身上更新位置的復雜度為O(N×dim×T)，其中N為種群大小，dim為維度，T為最大迭代次數；進行經驗攻擊的復雜度也為O(N×dim×T)；宿主覓食是概率發生的，假設其復雜度最大，為O(N×dim×T)；聯合反向學習的復雜度根據文獻[20]可知為O(N×T×(jr×dim+size(dc)))，其中jr為跳躍率，size(dc)為個體近距離維度的數量。進行經驗攻擊、聯合反向與更新最優位置都需要評估位置的適應度值，經驗攻擊后對新位置評估的復雜度為O(N×C×T)，其中C為評價一個位置需要的復雜度；對聯合反向生產的新位置進行評價的復雜度不確定，最大為O(N×C×T×(jr+1))；更新最優位置時會對所有位置進行評估，其復雜度為O(N×C×T)。

綜上所述，ROA的計算復雜度最大為O(N×T×(1+3×dim))+O(N×T×C×2)，而IROA 的計算復雜度最大為O(N×T×(1+3×dim+jr×dim+size(dc)))+O(N×T×C×(3+jr))，相比于ROA，由于增加了聯合反向學習策略，IROA 的復雜度雖然有所增加，但從第3 章的實驗結果和第4 章的工程問題中可以看出，IROA 的性能也得到了較大提升。

3 實驗與分析

本文實驗均在主頻為2.50 GHz 的11th Gen Intel?CoreTMi7-11700 處理器，16 GB 內存，操作系統為64 位Windows 11 的電腦上使用MATLAB2021a 完成。為了測試IROA 的性能，本文選取了CEC2020 的10 個測試函數進行仿真實驗。其中F1 為單峰函數，F2～F3 為多峰函數，F4 為無峰函數，F5～F7 為混合函數，F8～F10 為復合函數。CEC2020 測試函數的詳細信息如表1 所示。

表1 CEC2020 測試函數Table 1 CEC2020 test functions

3.1 對比算法與參數設置

3.2 算法性能對比分析

IROA 與其他對比算法運行30 次得到的最優適應度值、平均適應度值和適應度值標準差如表3 和表4 所示，其中min 表示最優適應度值，mean 表示平均應度值、平均適應度值和適應度值標準差如表3和表4 所示，其中min 表示最優適應度值，mean 表示平均適應度值，std 表示適應度值標準差。在單峰函數F1中，IROA 相比ROA 尋優能力得到了顯著的提升，在10維與100維中，相比其他算法，IROA在最優適應度值、平均適應度值和適應度值標準差都取得了最佳。在多峰函數F2 與F3 中，IROA 取得了最好的最優適應度值、平均適應度值，雖然適應度值標準差有所不足，但相較于ROA和BWO算法仍有較大提升。在無峰函數F4中，除了SCA、BES和WSO算法，其他算法都能穩定找到理論最優值。F5～F7為混合函數，雖然WSO 算法在10 維的F5 中的最優適應度值優于IROA，但在100 維的F5 中IROA 得到結果優于WSO算法的結果。在F6～F7 中，IROA 表現出的效果最優。在復合函數F8～F10 中，IROA 的整體性能依舊最優，雖然在部分函數中的適應度值標準差有所不足，但最優適應度值和平均適應度值依舊有較大優勢。雖然100 維的CEC2020 測試函數更加復雜，但是IROA的整體性能依舊優于其他對比算法。

表3 各算法在CEC2020(dim=10)中的實驗結果Table 3 Experimental results of each algorithm in CEC2020(dim=10)

表4 各算法在CEC2020(dim=100)中的實驗結果Table 4 Experimental results of each algorithm in CEC2020(dim=100)

3.3 收斂曲線分析

為了更加直觀地比較各個算法的尋優能力，本文給出了IROA 和對比算法在CEC2020 測試函數的收斂曲線圖，如圖3和圖4所示。

圖3 各算法在CEC2020(dim=10)的收斂曲線Fig.3 Convergence curves of each algorithm in CEC2020(dim=10)

圖4 各算法在CEC2020(dim=100)的收斂曲線Fig.4 Convergence curves of each algorithm in CEC2020(dim=100)

在10 維的CEC2020 測試函數中，對于單峰函數F1，ROA、SCA 和WSO 算法都有一定收斂能力，但與IROA 相比有所不足，IROA 與WSO 算法在后期均能繼續收斂。在多峰函數F2 與F3 中，IROA 雖然前期的收斂速度較慢，但在中后期都能跳出局部最優，快速收斂，其他算法均陷入了局部最優，無法收斂。在無峰函數F4 中，由于函數較為簡單，除了WSO 算法與SCA，其他算法都能很快找到最優值。對于混合函數F5～F7，在F5 中IROA 前期就能快速收斂；在F6和F7 中IROA 前期收斂速度雖然慢，但后期依舊能跳出局部最優。對于復合函數F8～F10，IROA收斂能力依舊不俗，尤其在F9 中，IROA 展現出了強大的跳出局部最優的能力，與WSO 算法在前期就能快速收斂，而ROA和其他算法均陷入了局部最優。

在100維的CEC2020測試函數中，對于單峰函數F1，可以明顯看出IROA 的收斂能力最強，ROA 次之，其他算法收斂能力接近，中后期無法繼續收斂。對于多峰函數F2 和F3，IROA 能持續跳出局部最優，擁有較高的收斂精度。在無峰函數F4 中，只有WSO算法與SCA 無法達到理論最優。對于混合函數F5～F7，明顯看出IROA 的收斂能力更強，比在10 維度中得到優勢更加明顯。在復合函數F8～F10 中，IROA在F8 中可以不斷收斂，而其他算法中期便陷入停滯狀態，對于F9和F10，IROA、ROA和SCA可以持續收斂，但明顯看出IROA的收斂速度和收斂精度更高。

3.4 Wilcoxon秩和檢驗

僅通過最優適應度值、平均適應度值、適應度值標準差和收斂曲線圖無法分析算法每次運行的結果，因此本文采用Wilcoxon秩和檢驗來驗證IROA 與對比算法的顯著區別。其中顯著水平為5%，當p小于5%時，則表示存在顯著區別，反之則較為相近。本文將8 個算法在CEC2020 中運行30 次，統計結果如表5 和表6 所示，其中符號“+”“-”“=”分別表示IROA 性能優于、劣于和等于對比算法，對p大于5%的數據進行了加粗處理。在F4 中存在較多為1 的情況，這是由于F4的函數較為簡單，大多算法都能很快找到理論最優解，在不同維度的大部分函數中p的值均小于5%，可以證明IROA 與對比算法存在顯著差異，且優于對比算法。通過Wilcoxon 秩和檢驗，可以看出IROA在大多數測試函數中都有更優的效果。

表5 各算法的Wilcoxon秩和檢驗結果(dim=10)Table 5 Wilcoxon rank-sum test results of each algorithm(dim=10)

表6 各算法的Wilcoxon秩和檢驗結果(dim=100)Table 6 Wilcoxon rank-sum test results of each algorithm(dim=100)

3.5 對比其他反向學習策略

為了進一步驗證聯合反向學習策略的優越性，表7給出了將IROA中的聯合反向學習替換成其他反向學習策略在CEC2020(dim=10)運行30 次的統計數據，對較好的數據進行了加粗處理。其中ROBL（random opposition-based learning）為隨機反向學習[14]，QOBL（quasi opposition-based learning）為準反向學習[23]，QRBL（quasi reflection-based learning）為準反射學習[24]，OBL（opposition-based learning）為反向學習[28]、LOBL（lens opposition-based learning）為透鏡反向學習[18]。不難看出，采用聯合反向學習策略的IROA 在大多數函數下的效果都很理想，雖然F6 中的適應度值標準差弱于準反射學習策略，但平均適應度值依舊優于其他反向學習策略。在F8 與F9 中平均適應度值沒有取得最優效果，但與其他策略并無較大差距。

表7 與其他種類反向學習的對比結果Table 7 Comparison results with other kinds of opposition-based learning

3.6 對比其他ROA的變體

現已有許多學者對ROA 進行了改進，為了體現提出的IROA 的優勢，本文選取了融合布朗運動與透鏡反向學習策略的MROA（modified remora optimization algorithm）[18]、基于Levy 飛行與重啟策略的EROA（enhanced remora optimization algorithm）[29]、融合自主覓食機制的IROA（Zheng）[19]和融合互利共生策略的IROA（Wang）[30]與本文的IROA 進行對比，并通過10 維的CEC2020 函數進行測試，其具體結果如表8 所示，同時對最優的數據進行加粗。從表8 可以看出，函數F1、F2 和F3 中，IROA（Wang）的結果略優于本文算法，但與本文算法的結果差距不大。在混合函數F5～F7 中，本文算法得到的最優適應度值、平均適應度值和適應度值標準差都有一定優勢，雖然F6 的結果略差于IROA（Wang），但本文算法得到結果依舊不俗。在復合函數F8～F10 中，F8 中，本文算法得到結果與IROA（Wang）相近，F9 中本文算法得到了最好的最優適應度值，平均適應度值次之，F10 中本文算法得到結果明顯優于其他ROA 的變體。

表8 與其他ROA變體的對比結果Table 8 Comparison results with other ROA variants

3.7 單一策略對比實驗

IROA采用了兩種策略對ROA進行改進，為了體現兩種策略對ROA 的優化作用，本節給出了僅加入聯合反向策略的ROAJOS（remora optimization algorithm with joint opposite selection）和僅加入宿主切換機制的ROAHS（remora optimization algorithm with host switching）與基礎ROA 進行對比，在10 維度的CEC2020 測試函數中運行30 次，表9 給出了統計結果。為了使統計結果更明顯，本文對表中較差的數據進行加粗。不難看出，基礎ROA 的大多數數據都被加粗。聯合反向學習與宿主切換機制對ROA均有一定作用。

表9 單一策略對比結果Table 9 Comparison results of single strategy

3.8 參數敏感分析

本節進一步分析了宿主切換機制中選擇白鯨作為宿主的概率，給出了概率分別為0.1、0.2、0.3、0.4、0.5、0.6、0.7、0.8和0.9的敏感度分析。表10為不同值的Pr在CEC2020 測試函數中的統計結果。從表10中可以看出，在概率為0.5 時，IROA 在函數F5、F7、F8、F9 和F10 中得到了較好的均值，在其他函數中得到的結果依舊不俗。不難看出，當概率為0.5 時，IROA能夠取得更好的結果。

4 IROA的工程問題應用

研究優化算法的目的之一是為了解決實際問題，而測試函數中的結果并不能體現IROA 在工程問題中的實際性能。因此，本文利用汽車碰撞優化問題對算法進行測試，進一步驗證IROA 的工程適用性。

汽車防碰撞設計問題是為了在保持汽車性能的同時，盡可能降低汽車的質量。該問題包含11 個決策變量與10 個約束條件。其中B 柱內板的厚度x1、B柱鋼筋厚度x2、地板內側的厚度x3、橫梁厚度x4、門梁厚度x5、門帶線鋼筋厚度x6、車頂縱梁厚度x7、B 柱內側材料x8、地板內側材料x9、護欄高度x10和碰撞位置x11為決策變量。汽車碰撞優化問題設計示意圖如圖5所示。

圖5 汽車側面碰撞模型圖Fig.5 Model diagram of car side crash

汽車防碰撞設計問題的數學模型如下：

目標函數：

約束條件：

變量范圍：

表11 為IROA 和對比算法在汽車防碰撞設計問題上的運行30 次的實驗結果和單次運行的平均時間。實驗選取了標準ROA、四種ROA 的變體、一種沙貓優化算法的變體和一種互利共生算法的變體作為對比，它們分別為ROA、MROA、IROA（Zheng）、EROA、IROA（Wang）、改進的沙貓算法（modified sand cat swarm optimization，MSCSO）[31]和改進的互利共生算法（hybrid particle swarm optimization/genetic algorithm/symbiotic organisms search，HGPSOS）[32]。其中種群規模N=30，維度大小dim=7，迭代次數T=500。Best為各算法在汽車防碰撞問題上運行30次得到的最小適應度值，Mean 為平均適應度值，Std為適應度值標準差，time 表示單次運行時間，最優的Best、Mean 和Std 值進行了加粗，x1～x11為算法取得最小適應度值時的解 。不難看出，當x=[0.500 000 000,1.226 934 200,0.500 000 000,1.205 565 700,0.500 000 000,1.223 710 100,0.500 000 000,0.345 000 000,0.345 000 000,0.214 107 800,0.007 404 300]時，IROA 取得了最小質量，并且IROA 得到的平均適應度值與適應度值標準差也優于對比算法。從單次運行時間中看出，IROA的運行時間雖然高于ROA，但EROA、IROA（Wang）、MSCSO 和HGPSOS 算法的運行時間明顯更高。實驗充分證明了IROA在汽車碰撞問題上的有效性。

表11 各算法在汽車防碰撞設計問題的實驗結果Table 11 Experimental results of each algorithm in car crashworthiness design

通過上述工程問題證明，原始ROA 的探索能力有所不足且易陷入局部最優。而IROA 通過加入聯合反向策略并增加宿主切換機制，增強了算法的全局能力并提高了算法的收斂精度，在實際工程問題中也能找到更優的解，充分驗證了IROA 在解決復雜的工程問題中有較高的潛力與實用價值。

5 結束語

針對ROA 的探索能力不足、求解精度較低并易陷入局部最優的缺點，IROA 加入了一種聯合反向學習策略，增強了算法的全局能力；并增加宿主切換機制，彌補了魚寄生在旗魚上探索能力不足的缺點。利用CEC2020測試函數對IROA進行測試，實驗結果表明IROA 在大多數函數中都有不錯的效果。同時，通過對汽車防碰撞問題的求解，進一步驗證了IROA在實際問題中的適用性。在未來的工作中，計劃將改進的魚優化算法應用到更多實際問題中，如多閾值圖像分割領域，并進一步提高和提升算法的優化性能。