大概念引領下小學數學課堂教學內容的重組
——以“圓柱的體積”教學為例

江蘇南通高等師范學校附屬小學（226000） 季夏玲

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》指出：義務教育數學課程應使學生通過數學學習，發展面向未來社會和個人發展所需要的核心素養。教學應以學生發展為本，以核心素養為導向，明確義務教育階段數學課程要培養的核心素養，確定以核心素養為導向的課程目標，建構指向核心素養的內容結構等。素養導向的提出旨在讓學生學會運用“專家思維”解決問題，讓知識活起來。“專家思維”的典型特征就是大概念，大概念引領下的知識具有結構化、系統化特點。

大概念教學就是以大概念為核心目標的教學，它指向培養學生解決真實問題的能力。基于數學大概念，對教學內容進行重組，是結構化教學的一種嘗試。重組教學內容是教師在充分了解學生知識基礎和能力水平的基礎上，從整體入手組織教學，完善和發展學生的數學認知結構，促進學生在掌握數學知識的同時融會貫通。教師有結構地教，就能促進學生有結構、有系統地學。下面，筆者結合蘇教版教材六年級下冊“圓柱的體積”教學，談談關于大概念教學的實踐與思考。

一、“挑揀”學材求本質

“圓柱的體積”怎么教？以往的教學都是從長方體和正方體知識引入，猜想三種立方體體積之間的關系，然后借鑒探索圓的面積的過程，利用化曲為直的方法將圓柱轉化為近似的長方體，從而得出圓柱的體積公式。這樣的教學設計有探索、有發現，確實能幫助一部分學生理解并掌握知識，但總體還是以教師為主導，以講授知識為目的，極少著眼于學生對所學內容的整體認識和把控，沒能引導學生主動建立知識結構。針對這一情況，筆者打算以大概念引領，重組內容，使學生學有所悟。

［第一課時：怎么求圓柱的體積？］

學具準備：長方形紙片、圓形紙片、胡蘿卜、圓柱形磁鐵、量杯、水、黏土、剪刀、小刀等。

問題：怎么求圓柱的體積？

1.討論：選擇哪些學具？怎么求圓柱的體積？

2.活動：操作驗證。

3.反思：測量方法的優缺點。

［教學意圖：開放的問題引領、多角度的研究切入、豐富的活動體驗，目的是讓學生在圍、切、捏等多種操作活動中不斷累積經驗，由量變引發質變，進而能主動剝離非本質因素，把握體積的本質。］

小組1：我們選擇長方形紙片和圓形紙片來圍，長方形紙片是圓柱的側面，圓形紙片是圓柱的底面。兩張紙片的面積就是圓柱的表面積。我們的這個選擇與圓柱表面積有關系，沒算體積。

小組2：我們選擇了圓柱形磁鐵、量杯，還有水。我們先往小量杯中倒滿水，再將小量杯放入大量杯中，然后將圓柱形磁鐵放入小量杯，這個時候水會溢出一些，我們再測量一下溢出的水的體積，這部分水的體積就是圓柱形磁鐵的體積。

師：這個操作很妙啊！不過，有沒有什么局限性呢？

組長：較大的圓柱形物體、不能沉下水的圓柱體等不好測量。每次都要準備水、量杯等物品，也比較麻煩。

小組3：我們選擇了黏土。我們先將圓柱形黏土捏成長方體，然后測量長方體的長、寬、高，并算出體積。這個體積也就是圓柱形黏土的體積。

師：又是一個精彩的轉化。你們的研究之路可以走得再遠一點。比如，以長方體體積的計算為起點，能否找到圓柱體積的計算方法？大家再思考一下。

生1：我發現，用圓柱的底面積乘高得到的數據跟長方體的體積數據很接近。

師：有什么大膽的猜想？

生2：計算長方體的體積可以用底面積乘高，計算圓柱的體積也可以用底面積乘高。

師：可是剛才得出的數據有一些差別。

生3：實際操作和測量會有一些誤差。

師：帶著這個發現，讓我們繼續前行。有誰能證明這個發現？或者還有別的計算方法嗎？

小組4：我們有個大膽的想法。之前，我們在學習圓的面積時，是將圓轉化成了近似的長方形。那么，是不是可以將圓柱轉化成近似的長方體呢？

師：聽懂他們的想法了嗎？誰能再說得詳細些？

生4：他們的意思是沿著圓柱底面的直徑和圓柱的高把圓柱切成若干等份，然后拼成長方體。

［教學意圖：強化學科實踐，增強學生認識真實世界、解決真實問題的能力，注重動手操作、作品展示、口頭報告等多種方式的綜合運用，關注典型表現，推進表現性評價。教師限時講授，做學生的引領者；學生合作互學，做學習的主人翁。學生通過討論、實踐、觀察、想象等活動，思維有了碰撞，學習有了深度、高度、廣度。］

二、“破壞”圓柱求提升

大概念的真正理解，不能通過死記硬背、機械訓練來完成，而是主要體現在完成“表現性任務”上，也就是能解決真實情境中的問題。

重組內容可以改變以往零碎化知識教學的形式，使知識體系整體大于部分之和。數學教學要用數學的大概念、大情境、大主題、大任務、大問題，將數學知識中相同、相似乃至相對的意義進行統整、優化、組合，使得數學知識成為更具生長力的結構體。

［第二課時：學了圓柱的體積，你還學會了什么？］

學具準備：圓柱形黏土、小刀。

問題：在有限的資源里，嘗試“破壞”圓柱，看看能創造什么樣的精彩。

1.操作：可以怎么“破壞”圓柱？

2.討論：被“破壞”之后的圓柱是什么樣子？與圓柱有什么關聯？

3.思考：生活中有類似的幾何體嗎？

4.設計：請設計一道以圓柱的體積為基礎的創新題。

［教學意圖：大概念打通的不僅是學科內的知識，還有學校教育和現實世界。實踐是學習的有效路徑。而大概念教學特別強調在真實情境中解決問題，也就是遷移應用，因此，以大概念為核心的教學能使學生在操作、想象、創造中真正獲得知識。］

小組1：我們用刀橫著切一刀圓柱形黏土，發現得到的兩個小圓柱比原來圓柱多了兩個底面。如果從正中間將圓柱形黏土一切為二，其中一個小圓柱的體積就是原來圓柱的。

小組2：我們也是把圓柱切成完成相同的兩部分，但我們是豎著切的，此時多了兩個長方形的面。這個長方形的長就是圓柱的高，寬就是圓柱底面圓的直徑。

小組3：我們也是切的。不過切了以后就變成“斜圓柱”了。如果剛才我們切得規整一些，得到的“斜圓柱”的體積就是原來圓柱體積的了。可我們是隨意切的，不知道體積是多少。

師：讓我們一起來幫幫他們。

生1：我們可以參考梯形的面積計算。借助一個與它完全一樣的“斜圓柱”……

師：大家順著這個思路去思考。

生2：將兩個完全一樣的“斜圓柱”拼成圓柱，算出圓柱的體積，再平均分成2份。

生3：也可以先添補再減。

生4：把黏土捏成長方體，體積也沒變。捏成圓錐也可以。

生5：其實我們也可以把黏土捏成正方體。

［教學意圖：大概念教學能夠教會學生的不止于“這件事”，還有這一類普適性的做事準則或規律。學生掌握了這些準則或規律，就會在遇到新的問題時實現最大程度的遷移。正如布魯納所說：“非特殊遷移，或者，說得更確切些，原理和態度的遷移……這種類型的遷移應該是教育過程的核心——用基本和一般的觀念來加深理解。”學生由體積的基本概念出發，在操作和討論中尋覓不同的方法，就能形成好學、樂學的學習習慣。］

三、整合形體求結構

深刻理解與把握一個大概念，需要較長的時間，因此，大概念教學需要從單元層面展開，引導學生持續性接觸大概念，直至完全理解與把握。如果“一課一個大概念”，教師依然會以灌輸的方式教學，學生對知識的理解仍浮于表面。在教學實施中，應準確理解指向核心素養導向的課程目標，關注結構化重組的思路和部分調整的內容，做好各層次的教學組織。

［第三課時：玩轉立方體］

師：上一堂課，同學們對圓柱進行了橫切、豎切、斜切，收獲了很多新的知識。今天我們繼續學習圓柱的體積。看來你們已經不滿足于在圓柱上切來切去了，開始主動探究幾何體之間的關系。我們就一起來玩轉立方體吧！

1.想象：圓柱和其他立方體之間可以怎么轉化？

2.討論：轉化之后的立方體和圓柱有什么關聯？

3.設計：你可以設計出幾何體之間轉化的創意題嗎？

［教學意圖：教學內容重組是將某一個知識作為一個教學資源，讓學生通過理解知識，從而形成一個大概念，即“我能用什么辦法來解決與這些知識有關的題”。學生將立方體聯系起來，不斷通過新獲得的知識去同化那些已學的，甚至對未學的知識也有初步認識。］

小組1：從正方體中切下最大的圓柱。圓柱的底面直徑就是正方體的棱長，圓柱的高是正方體的棱長。

小組2：我們剛好相反，從圓柱中切下最大的長方體。這個長方體上下兩個面為正方形，正方形的對角線是圓柱的底面直徑，高就是圓柱的高。

小組3：從圓柱中切下最大的圓錐，不過，我們還沒學圓錐的體積。

師：怎樣切才是最大的圓錐？

生1：保持底面不變，高度也不能變。

師：等底等高。等底等高的圓錐和圓柱的體積有關系嗎？有什么關系？你們想怎么探究？

生2：用黏土。因為我們可以用公式直接計算圓柱的體積，所以可以把圓錐形黏土捏成圓柱或長方體后再計算。

生3：我需要水，還有兩個等底等高的圓柱和圓錐學具。可以通過測量水的體積來探究圓柱和圓錐的體積關系。

師：我們又學到了一個知識——圓錐的體積。現在可以進行更多立方體體積的轉化啦。課后請大家設計相關的習題集。

［教學意圖：大概念教學要放在一個整體的“意義場”來加以精準理解。基于此設計教學，能讓學生主動追尋知識的本質，建構知識。如果知識是學生自己尋得、悟得的，再通過自己的改造讓他人獲得啟發，惠人惠己，這也是學習的終極目標。］

傳統教學中，教師習慣依托教材按部就班地展開教學，一個知識點一個知識點地教，相關知識被碎片化處理，這樣的教學模式忽視了對知識整體的把握和建構。大概念引領下的教學內容重組，知識體系深邃而有內涵，教師需要且行且思，首先學會像專家那樣學習、思考，優化教學策略，明確教學重難點，才能幫助學生提高學習質量。