對一道經典碰撞習題解析的修正

周洪松

(秦皇島市第一中學 河北 秦皇島 066006)

1 原題及解析

如圖1所示,水平地面上A、B兩個木塊用輕彈簧連接在一起,質量分別為2m、3m,靜止時彈簧恰好處于原長.一質量為m的木塊C以速度v0水平向右運動并與木塊A相撞.不計一切摩擦,彈簧始終處于彈性限度內,則碰后彈簧的最大彈性勢能不可能為( )

圖1 原題題圖

解析:當C與A發生彈性正碰時,根據動量守恒定律和能量守恒定律有

mv0=mv1+2mv2

聯立解得

當A、B速度相等時彈簧的彈性勢能最大,設共同速度為v3,以A的初速度方向為正方向,則由動量守恒定律得

2mv2=(2m+3m)v3

由機械能守恒定律可知

解得

當C與A發生完全非彈性正碰時,根據動量守恒定

律有

mv0=3mv4

當A、B、C速度相等時彈簧的彈性勢能最大,設共同速度為v5,則由動量守恒定律得

3mv4=6mv5

由機械能守恒定律可知

解得

由此可見,碰后彈簧的最大彈性勢能范圍是

2 對原題解析的修正

上述解析中認為C與A碰撞過程中發生彈性碰撞沒有機械能損失,彈簧的彈性勢能最大;C與A發生完全非彈性碰撞損失機械能最大,彈簧的彈性勢能最小.但是C與A發生完全非彈性碰撞后彈簧的彈性勢能就一定是最小的嗎?假設兩個質點碰撞過程中總動能沒有損失,則滿足動量和能量守恒定律

m1v1+m2v2=m1v′1+m2v′2

聯立解得

為了區別碰撞的性質引入恢復系數e,定義為分離速度和接近速度的比值

則解可以化為

完全彈性碰撞中e=1,完全非彈性碰撞中e=0,當0

本題中m1=m、m2=2m、v2=0、v1=v0,代入上式得A的速度滿足

彈簧的彈性勢能趨近于

綜上所述碰后彈簧的最大彈性勢能范圍是