從算盤到三角形數

萬廣磊

我國的珠算是世界文明的瑰寶。明清時期，能夠到店鋪站柜臺的人，都要有打算盤的童子功——算百子，也就是能用算盤快速計算1+2+3+4+…+100+…的結果。

我在童年時學打算盤，會經常練習1+2+3+…+36。為什么只加到36呢？因為它的結果是666，我很喜歡這個數字。據說，數學家高斯8歲時就能很快計算出1+2+3+4+…+100的結果。同學們，如果你不會算盤，也沒關系，我們現在可以直接用等差數列的計算公式得到它的結果。

1+2+3+4+…+100=[12]×100×（100+1）=5050。5050這個數字也很特殊，因為5050其實是一個“三角形數”。

什么是“三角形數”呢？古希臘的大數學家畢達哥拉斯喜歡用“小石子圖形”研究數列。他把一定數目的點或圓，進行等距離的排列，如果能得到一個等邊三角形，那么這樣的數就被稱為“三角形數”。如圖1所示，1、3、6、10、15、21、28、36、45、55、66、78、91……這些數量的石子都可以排成等邊三角形，所以這些數都是“三角形數”。

從“三角形數”的構成方法中，我們可以發現它有以下特點：

1.第n個“三角形數”是從1開始的n個自然數的和。

舉例：第5個“三角形數”是15，15=1+2+3+4+5。

2.所有大于3的“三角形數”都不是質數。

舉例：6=2×3，28=4×7。

3.從1開始的n個立方數的和是第n個“三角形數”的平方。

舉例：1+8+27+64=100=102=（1+2+3+4）2。

4.任何“三角形數”乘8，再加1，結果是一個平方數。

舉例：10×8+1=81=92。

5.兩個連續的“三角形數”之和是平方數。

舉例：1+3=4，3+6=9，21+28=49。

6.一部分“三角形數”（3、10、21、36、55、78……）可以用n2n+1表示；而剩下的另一部分（1、6、15、28、45、66……）則可以用n2n-1表示。

7.所有“三角形數”的倒數之和是2。

舉例：[11]+[13]+[16]+[110]+…+[1n（n+1）2]=2。

8.所有偶完美數都是“三角形數”。

完美數又稱完全數或完備數，是一些特殊的自然數，它所有的真因子（即除了自身以外的約數）的和恰好等于它本身。第一個完全數是6，它有約數1、2、3、6，除去它本身6外，其余3個數相加，1+2+3=6。第二個完全數是28，它有約數1、2、4、7、14、28，除去它本身28外，其余5個數相加，1+2+4+7+14=28。第三個完全數是496，有約數1、2、4、8、16、31、62、124、248、496，除去其本身496外，其余9個數相加，1+2+4+8+16+31+62+124+248=496。

9.大數學家高斯發現：任何自然數是最多三個“三角形數”的和。

對于以上特點，同學們可以自由選幾個數，動手算算看。當我們學習了用字母表示數之后，我們可對“三角形數”的以上特點進行說理。后面4個特點的說理比較有難度，尤其是第9個，如果你感興趣，說不定可以自主解決哦。

（作者單位：江蘇省南京市鼓樓實驗中學）