CIR 利率環(huán)境下標(biāo)的資產(chǎn)帶跳的期權(quán)定價

李 倩 王 利

(北京化工大學(xué) 數(shù)理學(xué)院, 北京 100029)

引 言

期權(quán)定價問題一直都是學(xué)者們研究的重點(diǎn)。1973 年,Black 和Scholes 提出了著名的Black -Scholes(B-S)模型[1],給出了歐式期權(quán)的定價公式。 在B-S 模型中,標(biāo)的資產(chǎn)的價格變化過程是連續(xù)的,然而這與市場中的數(shù)據(jù)并不符合。 因此,Merton[2]提出用跳擴(kuò)散過程來刻畫資產(chǎn)的變化,并以無窮項(xiàng)求和的形式給出了歐式期權(quán)的定價公式。然而以上兩個模型的建立有兩個苛刻的假設(shè):一是假設(shè)波動率為常數(shù),另一個是假設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)利率為常數(shù)。 為了更好地?cái)M合市場數(shù)據(jù),后人在這兩個方面作了很多改進(jìn)。 Heston[3]提出了隨機(jī)波動率模型,波動率的變化可以用一個隨機(jī)微分方程來刻畫;在此模型的基礎(chǔ)上,He 等[4]引入了隨機(jī)利率,其由Cox-Ingersoll-Ross (CIR)模型[5]給出,即Heston-CIR 混合模型,并給出了歐式期權(quán)的定價公式,具體方法是構(gòu)造遠(yuǎn)期測度,求出無風(fēng)險(xiǎn)測度下標(biāo)的資產(chǎn)價格的自然對數(shù)的特征函數(shù),以特征函數(shù)的形式表示模型的解,并運(yùn)用傅里葉逆變換求出歐式看漲期權(quán)定價,但其標(biāo)的資產(chǎn)是連續(xù)的過程。 黃伯強(qiáng)等[6]利用等價測度變換,推導(dǎo)出了標(biāo)的資產(chǎn)由Lévy 跳過程驅(qū)動的歐式期權(quán)定價,但其利率為常數(shù)。 毛志娟等[7]利用Δ-對沖和測度變換的方法推導(dǎo)出了當(dāng)標(biāo)的資產(chǎn)價格為幾何布朗運(yùn)動時,CIR 利率模型下的歐式期權(quán)定價公式,但其標(biāo)的資產(chǎn)的價格不帶跳。南嘉欣等[8]利用計(jì)價單位轉(zhuǎn)換原理,推導(dǎo)出了標(biāo)的資產(chǎn)價格由Lévy 跳過程驅(qū)動、利率也由Lévy 跳過程驅(qū)動的Vasicek 模型下的歐式看漲期權(quán)價格公式,但Vasicek 利率模型不能保證利率為正。

為了規(guī)避利率為負(fù)的風(fēng)險(xiǎn),并且鑒于現(xiàn)實(shí)金融市場上資產(chǎn)價格跳躍時常發(fā)生,本文引入了隨機(jī)利率(由CIR 模型刻畫)和由Lévy 過程驅(qū)動的帶跳的標(biāo)的資產(chǎn)模型。 由于多個隨機(jī)項(xiàng)的存在,要給出歐式期權(quán)的顯示定價公式是困難的,受文獻(xiàn)[2]和文獻(xiàn)[4]的啟發(fā),我們將兩者方法相結(jié)合,利用遠(yuǎn)期測度變換和傅里葉逆變換,給出了級數(shù)求和形式的歐式期權(quán)定價公式。 并利用數(shù)值模擬說明該級數(shù)是收斂的,且收斂的速度非常快。 緊接著通過實(shí)證分析,與經(jīng)典的Black-Scholes 模型進(jìn)行對比,表明了本文模型更符合實(shí)際市場。

1 CIR 利率模型與帶Lévy 跳的標(biāo)的資產(chǎn)價格

記(Ω,F,Ft{0≤t≤T},Q)為概率空間,滿足通常條件,Q是風(fēng)險(xiǎn)中性概率測度,以下所有隨機(jī)過程均定義在此概率空間中。

1.1 CIR 利率模型

CIR 模型是一個連續(xù)時間狀態(tài)下的廣義均衡模型,利率r(t)的隨機(jī)微分方程是一個單平方根過程

式中,k、a、σr均為常數(shù),k為均值回歸的速度,a為長期均值,σr＞0 為波動率,{W1(t)}t≥0為標(biāo)準(zhǔn)布朗運(yùn)動。

1.2 帶Lévy 跳的標(biāo)的資產(chǎn)價格

在風(fēng)險(xiǎn)中性測度Q下,標(biāo)的資產(chǎn)價格S(t)滿足以下隨機(jī)微分方程。

2 相關(guān)引理

引理1 Doleans -Dade 指數(shù)公式[9]如果X(t)是一個跳擴(kuò)散過程,則滿足初始條件為ZX(0) =1且dZX(t) =ZX(t-)dX(t)的隨機(jī)微分方程的解為

3 歐式期權(quán)定價

3.1 定價方法

考慮到期日為T、執(zhí)行價格為K的歐式看漲期權(quán)。 在風(fēng)險(xiǎn)中性測度下,歐式看漲期權(quán)的價格U(S,r,t)實(shí)際上是收益期望的現(xiàn)值

式中,b(t,T,r(t))是在風(fēng)險(xiǎn)中性測度Q下到期日為T的零息債券的價格,這意味著首先要計(jì)算出b(t,T,r(t))以及利率和資產(chǎn)價格在遠(yuǎn)期測度QT下所滿足的隨機(jī)微分方程。

定理1 若利率r(t)由式(1)給出,則到期日為T的零息債券在時刻t的價格b(t,T,r(t))為

b(t,T,r(t)) =exp{A(t,T) +G(t,T)r(t)},0≤t≤T

其中,

利用文獻(xiàn)[13]的結(jié)論,可知零息債券的價格是利率的指數(shù)仿射函數(shù),所以假設(shè)b(t,T)滿足以下形式

3.2 定價公式的推導(dǎo)

在遠(yuǎn)期測度QT下,可以得到到期日為T、執(zhí)行價格為K的看漲期權(quán)的價格為[11]

證明 為了推導(dǎo)式(22),首先需要知道f(?;t,T,z,r)的定義,它滿足

4 數(shù)據(jù)模擬

本節(jié)檢驗(yàn)定價公式的收斂速度是在限制條件式(20)下選擇的參數(shù),為了方便編程計(jì)算,取跳躍幅度(Y-1)為固定的跳躍幅度0.01,其中σr=σ=0.05,k=2,a=0.05,r0=0.03,S0=110,K=100,λ2=1,到期時間τ=0.5。 圖1 給出了標(biāo)的價格的變化路徑。 圖2 表示D(?;τ)級數(shù)的階數(shù)為n+1和n時W(S,r,τ)的絕對差,可以看出當(dāng)級數(shù)的階數(shù)達(dá)到臨界點(diǎn)時,絕對差變?yōu)?,并且從該時刻起,無論級數(shù)的階數(shù)有多大,絕對差一直保持為0,則W(S,r,τ)可以視為是收斂的。 因此,當(dāng)增加級數(shù)的階數(shù)時,絕對差急劇減小到0 的現(xiàn)象表明W(S,r,τ)收斂非常快,所以在計(jì)算W(S,r,τ)時,可以將D(?;τ)級數(shù)的階數(shù)取為10,此時絕對差為10-4。

圖1 標(biāo)的價格的變化路徑Fig.1 The path of S(t)

圖2 D(?;τ)級數(shù)的階數(shù)為n+1 和n 時W(S,r,τ)的絕對差Fig.2 Absolute difference of W(S,r,τ) between the n+1-term and n-term

圖3 給出了U(S,r,τ)級數(shù)的階數(shù)為m+1 和m時的絕對差。 當(dāng)m=7 時,其絕對差為10-4,因此U(S,r,τ)級數(shù)的階數(shù)取值為7 時可以看作是收斂的。

圖3 U(S,r,τ)級數(shù)的階數(shù)為m+1 和m 時的絕對差Fig.3 Absolute difference of U(S,r,τ) between the m+1-term and m-term

改變跳躍幅度,檢驗(yàn)U(S,r,τ)級數(shù)是否還是收斂。 設(shè)跳躍幅度Y服從對數(shù)正態(tài)分布,即lnY～N(0.01,0.009)。 利用Matlab 生成Y的隨機(jī)數(shù),其他參數(shù)不變,圖4 給出了U(S,r,τ)級數(shù)的階數(shù)為m+1 和m時的絕對差,當(dāng)m=7 時,其絕對差為10-4,說明U(S,r,τ)是收斂的,則此時的期權(quán)價格可以被視為收斂的期權(quán)價格。

圖4 U(S,r,τ)級數(shù)的階數(shù)為m+1 和m 時的絕對差Fig.4 Absolute difference of U(S,r,τ) between the m+1-term and m-term

為了驗(yàn)證所選模型的有效性,根據(jù)文獻(xiàn)[14]的數(shù)據(jù)(2020 年5 月27 日的上證50ETF 認(rèn)購期權(quán)交易數(shù)據(jù))進(jìn)行實(shí)證分析。 參數(shù)的選取說明如下。4 月20 日該期權(quán)的標(biāo)的資產(chǎn)價格為2.8,即S0=2.8。 4 月20 日距5 月27 日到期日35 天,故T=35/365=0.095 9;根據(jù)4 月20 日的上海銀行間同業(yè)拆放利率,取r0=0.016 74;根據(jù)華夏上證50ETF 的歷史價格得到年化波動率為0.233 6, 即σ=0.233 6,同時設(shè)σr=σ=0.233 6;設(shè)CIR 利率模型中的k=0.012,a=0.021;跳躍幅度為固定跳躍幅度Y=1.01。 將所選模型下定價公式模擬計(jì)算出的結(jié)果與真實(shí)值和B-S 模型定價公式給出的理論值進(jìn)行比較,結(jié)果如表1 所示。

表1 模型模擬數(shù)值結(jié)果與B-S 模型理論值的對比Table 1 Comparison of model simulation numerical results with B-S model theoretical values

通過數(shù)值模擬可以看出,本文模型模擬出的數(shù)值解與真實(shí)值之間的誤差控制在8%以內(nèi),且相較B-S模型,本文模型的準(zhǔn)確度更高,更符合實(shí)際市場情況。

5 結(jié)束語

本文采用混合模型,即包含帶Lévy 跳的標(biāo)的資產(chǎn)模型和CIR 利率模型,給出了級數(shù)形式的歐式期權(quán)的定價公式。 通過Matlab 數(shù)值模擬證明了解的收斂性,實(shí)證分析結(jié)果也驗(yàn)證了本文模型的數(shù)值解比經(jīng)典的B-S 模型定價結(jié)果更準(zhǔn)確。