立足單元整體教學(xué) 落實(shí)學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)
——以《三角形的面積》教學(xué)為例

○ 煙臺高新技術(shù)產(chǎn)業(yè)開發(fā)區(qū)益文小學(xué) 慕振亮

課前思考：

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022 年版）》要求，教學(xué)目標(biāo)的設(shè)定要體現(xiàn)整體性。《三角形的面積》一課在本單元起著承上啟下的作用，“上承”推導(dǎo)平行四邊形面積公式所利用的轉(zhuǎn)化思想，“下啟”其他圖形面積公式的推導(dǎo)，學(xué)生可領(lǐng)悟策略多樣化的轉(zhuǎn)化思想。基于新課標(biāo)要求，這部分知識屬于第二學(xué)段“圖形認(rèn)識與測量”的內(nèi)容，以發(fā)展學(xué)生的量感和推理意識為目的。

教學(xué)中通常是以問題情境為切入點(diǎn)，探究三角形的面積主要用兩個(gè)完全一樣的三角形進(jìn)行“拼組”的辦法。可是，明明只需求一個(gè)三角形的面積，為什么要給學(xué)生提供兩個(gè)完全一樣的三角形？學(xué)生心中會有這樣的疑問。教師精選兩個(gè)三角形或者提供的格子圖是否多了一些暗示的痕跡？在實(shí)踐操作過程中，一些學(xué)生嘗試用一個(gè)三角形進(jìn)行剪拼，用單個(gè)圖形轉(zhuǎn)化成新圖形，正順應(yīng)學(xué)生的基本學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和知識遷移的認(rèn)知規(guī)律。基于此，教學(xué)《三角形的面積》這節(jié)課，我們借助釘子板這個(gè)學(xué)習(xí)材料作為探究活動的“腳手架”，通過研究單個(gè)三角形在釘子板上的變化情況，來探究三角形的面積。

課堂展示：

一、借助經(jīng)驗(yàn)，激趣導(dǎo)入

（借助釘子板復(fù)習(xí)舊知，喚起學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)。）

師：同學(xué)們，今天我們學(xué)習(xí)三角形的面積。瞧，老師請到一位神秘的小助手——釘子板，我們一起來認(rèn)識一下。（出示釘子板）每兩個(gè)釘子間的距離是1 分米，那這一小格的面積就是——

生：1 平方分米。

師：用算式如何算出長方形的面積？

生：2×3=6 （平方分米）。

師：再來個(gè)難度大一點(diǎn)的。（借助釘子板出示平行四邊形）這是一個(gè)什么圖形？

生：平行四邊形，它的面積是3×4=12（平方分米）。

師：回憶一下平行四邊形的面積公式是怎么推導(dǎo)的。

生：沿著這條高剪開之后再進(jìn)行平移，就可以把平行四邊形變成我們熟知的長方形。

師：同學(xué)們想想，用上節(jié)課的剪拼法是否可以研究今天三角形的面積呢？同桌兩人為一組，拿出信封袋里面的三角形，通過剪拼法嘗試看能不能拼出我們熟悉的圖形。

生：我試了一下有的剪拼后的圖形可以拼成學(xué)過的圖形，有的不能拼成。

二、操作探究，體驗(yàn)過程

（探究等腰直角三角形面積的計(jì)算方法。）

師:用剪拼法來求解一般三角形的面積有些難度，那咱們就從特殊的三角形開始研究。（借助釘子板出示三角形）瞧，它的面積是多少平方分米？

生：0.5 平方分米。

師：怎么得到的？

生：因?yàn)橹苯侨切蚊娣e是正方形面積的一半，正方形的面積為1 平方分米，所以直角三角形的面積為0.5 平方分米。

師：你是把求直角三角形的面積轉(zhuǎn)化成了求正方形面積的一半。請同學(xué)們仔細(xì)觀察，這里除了正方形，還有什么圖形？

生：另外一個(gè)直角三角形。

師：那這個(gè)直角三角形和原來的直角三角形有什么關(guān)系？

生：這兩個(gè)三角形是完全相同的。

師：如果把這個(gè)三角形變一變，（將上圖中三角形的底拉長）仔細(xì)觀察有了什么變化？

生：三角形的面積變大了。

師：三角形的面積為什么會變大呢？

生：因?yàn)槿切蔚牡鬃兇罅恕?/p>

師：老師再把這個(gè)三角形變一變，（繼續(xù)將三角形的高拉長）看看三角形的面積有什么變化？

生：三角形的面積又變大了。

師：這次三角形的面積為什么又會變大呢？

生：因?yàn)槿切蔚母咦兇罅恕?/p>

師：同學(xué)們，請你們猜一猜三角形的面積可能與什么有關(guān)？

生：可能與它的底和高有關(guān)。

師：那到底有什么關(guān)系呢？這節(jié)課我們就一起研究三角形的面積。

三、自主探究，推理歸納

（探究一般三角形面積的計(jì)算方法。）

師：（借助釘子板出示三角形，如圖）這個(gè)大三角形的面積是多少？

生：3 平方分米。

師：怎么算的？

生：兩個(gè)完全相同的直角三角形拼成了長方形，一個(gè)三角形的面積就是長方形面積的一半。

師：直角三角形的面積我們會求了，銳角三角形的面積會求嗎？請同學(xué)們拿出探究單，利用學(xué)具來探究。獨(dú)立操作后四人一小組進(jìn)行交流。

四、集體交流，推導(dǎo)公式

生：銳角三角形面積的計(jì)算方法——6×4=24（平方分米），24÷2=12（平方分米）。

師：6 代表的是什么？4 代表的是什么？

生：6 是平行四邊形的底，6 也是三角形的底，4 是平行四邊形的高，4 也是三角形的高。

師：6×4 也就是底×高，求的是什么？

生：求的是平行四邊形的面積。

師：為什么要除以2 呢？

生：因?yàn)槠叫兴倪呅问怯蓛蓚€(gè)完全相同的三角形拼成的，除以2 求的就是其中一個(gè)三角形的面積。

師：那鈍角三角形的面積又是如何探究的？它和直角三角形、銳角三角形面積的探究過程一樣嗎？

師：通過剛才的拼擺、推理和計(jì)算，同學(xué)們思考一下，拼擺后的新圖形與原來的三角形有什么樣的關(guān)系？

生：三角形的底就是平行四邊形的底，三角形的高就是平行四邊形的高。

生：用兩個(gè)完全相同的三角形不論是直角三角形、銳角三角形還是鈍角三角形，在經(jīng)歷重合、旋轉(zhuǎn)、平移之后就可以拼出以前學(xué)過的平行四邊形。

師:回顧剛才的探究過程，雖然三角形的形狀不同，但是借助釘子板，運(yùn)用推理想象構(gòu)造出了用兩個(gè)完全一樣的三角形轉(zhuǎn)化成一個(gè)熟悉的圖形。因?yàn)槿切蔚牡拙褪瞧叫兴倪呅蔚牡祝切蔚母咂鋵?shí)就是平行四邊形的高，將平行四邊形的面積除以2 就能得出三角形的面積。所以三角形的面積公式為“底×高÷2”，用字母表示為“S=ah÷2”。

五、拓展鞏固，變式應(yīng)用

（借助釘子板出示三個(gè)形狀不同、面積都為6平方分米的三角形。）

師：形狀不同，為什么面積相同？

生：這些三角形都是等底等高的。

師：像這樣的三角形我們還可以找到嗎？

生：可以找出無數(shù)個(gè)，只要釘子板足夠大。

師：同學(xué)們，如果釘子板就這么大，我還想得到一個(gè)面積是6 平方分米的三角形，你能在頭腦中想象出三角形的形狀，并確定新三角形的底和高分別是多少嗎？

生：底是3、高是4，底是2、高是6；底是12、高是1。

師：真棒！懂得逆向思考問題。

教學(xué)反思：

1.本單元學(xué)情分析和知識核心的分析。

從單元整體教學(xué)的角度來看，面積的測量是本單元的核心知識。學(xué)生用釘子板作為研究工具，在研究轉(zhuǎn)化前后圖形的關(guān)系上探究多邊形的面積。以面積概念和簡單圖形的測量為基本經(jīng)驗(yàn)，以轉(zhuǎn)化為基本思想，為后續(xù)學(xué)習(xí)梯形、組合圖形以及圓的面積打下基礎(chǔ)。在探究活動中，用到了割補(bǔ)、拆分和拼組等方法，并將“出入相補(bǔ)原理”這一數(shù)學(xué)文化融入其中。

在單元教學(xué)目標(biāo)中，除了注重掌握和理解多邊形的面積計(jì)算公式外，還要考慮學(xué)生是否真正理解了轉(zhuǎn)化的思想方法，順應(yīng)學(xué)生的思維，讓他們發(fā)現(xiàn)轉(zhuǎn)化前后圖形之間的關(guān)聯(lián)，學(xué)會有效遷移到其他多邊形的面積，從而串聯(lián)相關(guān)知識，促進(jìn)整體構(gòu)建。

2.實(shí)現(xiàn)了從特殊到一般、從經(jīng)歷到經(jīng)驗(yàn)的雙向目標(biāo)。

本節(jié)課借助釘子板從直角三角形入手，引導(dǎo)學(xué)生推理想象，由點(diǎn)到面，經(jīng)歷了從特殊到一般的過程。從完全歸納推理出發(fā)，研究三類三角形（直角三角形、銳角三角形、鈍角三角形）轉(zhuǎn)化成平行四邊形的過程。學(xué)生通過觀察探索、實(shí)踐操作、歸納總結(jié)等，對三角形及平行四邊形的面積公式有了更加深入的理解，同時(shí)也培養(yǎng)了邏輯思維能力。

兩個(gè)完全一樣的等腰直角三角形拼成一個(gè)正方形，正方形面積的一半恰好是等腰直角三角形的面積，根據(jù)轉(zhuǎn)化前后幾何圖形間的關(guān)系，在推導(dǎo)三角形面積公式時(shí)進(jìn)行了有效遷移。用轉(zhuǎn)化思想作為單元整體教學(xué)的暗線，從經(jīng)歷到經(jīng)驗(yàn)，促進(jìn)學(xué)生學(xué)科素養(yǎng)目標(biāo)的達(dá)成。