多個輪式移動機器人沿同一軌跡曲線運動的編隊控制研究

劉昕宇,周宇生

(貴州大學 數學與統計學院, 貴陽 550025)

0 引言

控制輸入個數少于系統自由度數目的欠驅動系統普遍存在于實際生產生活中。目前關于各種欠驅動模型及其相關的控制理論研究成果相當豐富[1-3]。其中,兩輪式移動機器人就是一種典型的欠驅動系統[4-6],通過在兩側車輪安裝驅動馬達,分別控制車輪的轉速,使輪式移動機器人實現直行或轉向運動。在一些實際問題中,可能需要采用多個輪式移動機器人進行協調作業,以完成復雜的運動任務,如工農業生產、環境監測、國防軍事等[7-9]。與單個輪式移動機器人相比,多個輪式移動機器人在協調作業過程中需要一直保持一定的隊形結構。為此,許多研究者提出了一系列的方法解決多個機器人編隊的運動控制問題,包括領航跟隨法[10-13]與虛擬結構法[17]等。

領航跟隨法是一組編隊機器人中的一個或幾個機器人被選為領導者,它們決定整個編隊的運動軌跡,其余機器人作為跟隨者,與領航者之間保持一定的角度和距離[15]。這個理論簡單可靠,受到越來越多學者的重視,他們在此基礎上提出了許多改進的編隊控制方法。具體來說,李詠華等[10]提出了一種領航-跟隨型多移動小車分布式編隊控制方法,該方法能夠快速收斂至期望隊形并具有很好的抗干擾能力。Wang等[11]考慮到不是所有個體都能跟蹤期望路徑,在多四旋翼飛行器的編隊中提出了一種分布式控制算法實現了領航-跟隨的編隊跟蹤策略。Gonzalez等[12]提出了移動機器人和四旋翼飛機在領航-跟隨方案下基于距離和方向的動力學模型,設計了一種魯棒控制策略解決編隊控制問題。Moorthy等[13]為每個跟隨者開發了一個分布式估計器估計領導者狀態,同時為了解決速度跳躍問題,設計了一種基于生物神經動力學的反步控制器管理編隊。此外,在多機器人編隊控制問題中,基于障礙李雅普諾夫函數的方法具有處理約束的能力。Jin[14]提出了一種新型欠驅動自主水面艦船的容錯領航-跟隨編隊控制方法,解決了視距角度的約束以及有限時間收斂的問題。Dai等[16]研究了通信約束下非完整移動機器人的編隊跟蹤控制問題。此外,Zhang等[17]通過改進傳統的虛擬結構方法,結合個體路徑跟蹤控制設計,解決了網絡非完整移動車輛團隊協同路徑跟蹤問題。

可以看到,在上述的研究工作中,幾乎沒有考慮領航者和跟隨者沿相同軌跡運動的問題。他們大多是基于領航者與跟隨者之間的距離和角度展開研究,在這種情況下,他們之間的相對位置可以很容易地確定下來。然而,當領航者和跟隨者需要沿同一軌跡運動時,他們之間的相對位置關系需要結合目標軌跡曲線才能被進一步確定。Yuan等[5]在多轉向拖掛車移動機器人中利用反步法實現了拖車和掛車跟蹤相同的目標路徑。Zhou等[18]引入被動轉向角及齒輪轉向機制,使拖車和掛車都能在低速下精確跟蹤同一目標軌跡曲線。在編隊控制問題中考慮領航者與跟隨者沿同一軌跡運動同樣具有現實意義。如在軍事演習中[19],沿同一軌跡運動可以豐富編隊隊形。另外,當一個編隊在狹長的路段運行,此時需要所有個體都跟隨領航者沿同一軌跡運行。這樣減少了所需的車道寬度,也大大提高了系統的機動性與靈活性[20]。同時,由于編隊系統處在同一軌跡上完成任務,那么現有的單機器人路徑規劃算法也能夠被使用[5]。綜上所述,本文以兩輪式移動機器人為例,考慮了領航者和跟隨者沿相同路徑運動且保持一定距離的編隊控制問題,具體貢獻如下:

1) 對簡單的圓形軌跡進行幾何分析,得到領航者和跟隨者之間的關鍵位置關系。在此基礎上,進一步得到了軌跡是一般光滑曲線時的位置關系,將該關系式結合到控制器的設計中,實現整個編隊沿同一軌跡運動的目標。

2) 針對帶有輸出約束的編隊系統,為了保證編隊跟蹤誤差的瞬態和穩態性能,我們將障礙李雅普諾夫函數引入到編隊控制設計中,將系統誤差限定在一定的邊界范圍內,所提出的編隊控制策略能夠保證領航者與跟隨者之間避免碰撞,有利于編隊控制方案的實施。

本文的其余部分安排如下。第2節給出了兩輪式移動機器人的運動學,動力學模型和任務控制目標。第3節詳細描述了領航者和跟隨者形成同一軌跡的過程和控制器的設計。第4節利用Matlab仿真驗證了所提方法的有效性。最后,第5節對本文結果進行了總結。

1 問題描述

本節將簡述兩輪式移動機器人的結構以及其運動學和動力學模型,并結合模型介紹相應的控制任務。

1.1 兩輪式移動機器人模型

如圖1所示,兩輪式移動機器人主要由兩車輪與一個剛性連桿連接,在輪軸兩側的車輪上分別安裝有驅動馬達,通過驅動車輪轉動實現兩輪式移動機器人前向和轉向運動。此外,假設每個車輪只向前滾動而不產生橫向滑動和空轉。文中所用符號和公式的定義見表1。

圖1 兩輪式移動機器人示意圖

表1 兩輪式移動機器人各參數及變量

1.2 運動學方程與動力學方程

兩輪式移動機器人的運動學模型如下所示:

其中

兩輪式移動機器人動力學方程如下所示:

(1)

其中:

a11=a22=2Mw+MB

式(1)還可以表示為如下形式:

(2)

其中:

u1=Tl+Tr,u2=Tl-Tr

1.3 控制目標

本文的控制任務是為多個兩輪式移動機器人的編隊問題設計跟蹤控制器,以實現以下目標:

1) 基于動態跟蹤目標,目標軌跡曲線能夠被領航者精確追蹤。

2) 領航者和跟隨者能夠沿同一軌跡運動。

3) 在運動過程中,領航者與跟隨者能夠始終保持預設的距離。

2 編隊控制設計方法

本節將分別介紹領航者與跟隨者的控制器設計,并給出相應的穩定性分析。

2.1 動態跟蹤目標

(3)

進一步,式(3)可改寫為速度目標形式

(4)

(5)

一般來說,φ(t)可設計為如下[21]

φ(t)=-(βt+1)lβ2texp(-βt)

式中:l為目標軌跡曲線的長度;β為待定參數。

在實際應用中,初始時刻輪式移動機器人是靜止不動的,可以調整前向速度目標使初始速度誤差為零,并可以根據實際需要調節參數β,使整個過程跟蹤控制的效果最好。

2.2 領航者的跟蹤控制設計

在本節中,通過動態跟蹤目標為領航者設計控制器,以便于領航者能夠精確跟蹤目標軌跡曲線。

2.2.1前向速度控制器設計

注意到控制式(2)是解耦的,因此可以先設計u1,然后基于實際的前向速度設計u2跟蹤偏航轉速目標。結合式(5),前向速度方程可以寫為

(6)

(7)

在此,利用反步法設計前向速度控制器。將e2視為虛擬控制量,引入如下變換:

e2=-e1=η(e1)

(8)

選擇李雅普諾夫函數V1

對V1兩邊關于時間求導,并將式(8)代入可得

在此,引入如下變量代換

z=e2-η(e1)=e2+e1

(9)

對式(9)求導并結合式(7),整理后可得:

(10)

類似的,選取李雅普諾夫函數V2

對V2兩邊關于時間求導,并將式(10)代入可得

(11)

此時可將前向速度控制器u1設計為如下表達式

(12)

聯立式(11)及式(12),可得

最后,將式(9)代入式(12),可得最終的前向速度控制器u1,表達式如下所示:

2.2.2偏航轉速控制器設計

設計的積分滑模面為:

(13)

式中G1>0,是合適的常數。

最終設計的偏航轉速控制器u2為如下表達式:

式中:k、G2、K均為大于零的常數。

2.3 跟隨者的位置分析

2.3.1特殊曲線軌跡

如圖2所示,我們所研究編隊問題的控制目標是領航者和跟隨者沿同一軌跡運動,并且兩者之間始終保持一定的距離。首先考慮一種簡單的情況,領航者的目標軌跡曲線是如圖2所示的圓軌跡曲線。圖中的3個簡單幾何關系如下所示:

(14)

式中:Φ、β、γ如圖2所示。θb和θv分別表示領航者和跟隨者的偏航角。

圖2 圓軌跡曲線編隊示意圖

整理上式,可以得到領航者與跟隨者偏航角的關系:

θv=θb-2β

基于式(14)中的幾何關系,跟隨者和領航者的相對位置關系可表示為:

其中:(xb,yb),(xv,yv)分別表示領航者和跟隨者的位置。

2.3.2一般曲線軌跡

在本節中,考慮領航者的期望軌跡為一般光滑軌跡曲線。由于一般軌跡的未知性,很難直接確定領航者與跟隨者之間的相對位置關系,因此做出如下假設。

假設1將領航者與跟隨者之間的軌跡弧視為圓弧近似處理。

假設2圓弧的半徑比兩車之間的距離要大得多。

如圖3所示,當領航者的軌跡是一般光滑曲線時,R不再是一個常量,而是一個隨β變化而變化的變量。記近似處理之后的半徑和角度分別為Rb。此時根據假設條件,上一節的幾何關系依舊成立。在此基礎上做進一步的調整,由于領航者與跟隨者沿同一軌跡運動,可以得到

相應可得

故領航者的期望軌跡是一般光滑軌跡曲線時,它們之間的相對位置關系如下所示:

(15)

2.4 跟隨者的編隊控制器設計

為了達到控制目標,本節對跟隨者采用雙閉環的控制結構。

2.4.1外環速度控制器設計

運動學誤差系統定義如下:

式中,(xf,yf,θf)T是跟隨者的位置響應;(xv-xf,yv-yf,θv-θf)T是位姿誤差;(xe,ye,θe)T是坐標變換后的位姿誤差。

對上式誤差方程關于時間求導,整理后得:

(16)

式中:ωf和vf分別表示跟隨機器人的偏航轉速和前向速度。

可以看到,編隊問題已經轉化為了軌跡跟蹤問題,設置如下控制律可使誤差系統漸近穩定。

(17)

式中:Kx、Kθ、Ky、a、b為增益系數,均為大于零的常數。

證明：考慮如下李雅普諾夫函數

顯然,函數V是正定的。對V關于時間求導,并將式(17)代入,整理可得

vv(a+b)sinθe(ye+Kθθe)]-

如果a+b=1,則

2.4.2內環姿態控制器的設計

在雙閉環控制系統中,基于直接李雅普諾夫函數法設計的速度控制器在外環可以實現跟蹤誤差的收斂,與兩輪式機器人的姿態變量相關。在內環上,需要引入力矩控制器來實現對期望速度的跟蹤。

定義速度的跟蹤誤差為

(18)

對上式求導可得

(19)

構造如下對稱障礙李雅普諾夫函數

式中:kb>0為約束邊界;誤差初始值z1(0),z2(0)滿足|z1(0)|

對Vz1、Vz2求導并結合兩輪式移動機器人動力學方程,整理后可得

(20)

引入如下控制律u10和u20,

其中k1、k2、κ為大于零的常數。

將控制律u10和u20代入式(20),整理可得

3 仿真結果與分析

在仿真中,編隊系統的參數設置如下:

下面對固定的參數值進行數值模擬,以分析本文方法的有效性。

如圖4所示,實際軌跡與目標軌跡之間的偏差非常小,說明了采用動態跟蹤目標跟蹤目標曲線的曲率,通過偏航速度的時時動態調整,確實能夠極大地減少運動中的累積位置誤差[21]。

圖4 領航機器人軌跡跟蹤曲線

如圖5所示,2個跟隨者都能夠精確地與領航者沿同一軌跡運動。再結合圖6和圖7,跟隨者們大約能在1 s左右收斂到預定的距離,從而形成一個同軌跡運動的編隊隊形。這說明充分利用領航者和跟隨者之間位置的幾何關系所設計的控制器具有控制精確和響應速度快的優點。

圖5 實際的編隊運動軌跡曲線

圖6 跟隨者1與領航者保持的距離

圖7 跟隨者2與領航者保持的距離

事實上,編隊系統在運動過程中會受到未知擾動的影響。接下來,為了檢驗其抗干擾性能,下面通過仿真驗證4種類型干擾(d1、d2、d3、d4)對于距離的影響情況,如圖8所示。

從圖8(a)—(d)可以看出,在存在持續外部干擾的情況下,繼續采用控制器u10和u20,輪式移動機器人之間仍然能夠保持非常接近的預設距離。這很好地驗證了采用動態跟蹤目標和充分利用幾何位置關系所設計的控制器具有非常好的魯棒性。

圖8 4類干擾情況下跟隨者2與領航者的距離

如圖9所示,本文提出的方法能夠保證跟蹤誤差始終約束在±kb之內,這驗證了所設計的障礙李雅普諾夫函數的有效性。

為了進一步地驗證本文提出的控制方法的有效性和優越性,我們選取常用的積分滑模控制方法與本文方法進行比較,其軌跡如圖10所示。

為了保證對比的公平性,2種方法的系統參數均保持一樣,仿真效果如圖11所示。顯然,相比于積分滑模控制方法,本文方法所設計的控制器有著更快的收斂速度以及更小的超調量。

圖9 速度跟蹤誤差曲線

圖10 2種方法運動軌跡曲線

圖11 2種方法保持距離曲線

4 結論

對于多機器人編隊控制問題,提出了一種沿同一軌跡的編隊隊形方法,建立了兩輪式移動機器人的運動學和動力學方程。針對領航者,結合動態跟蹤目標的思想設計了控制器。同時,將領航者與跟隨者之間的幾何關系,應用于力矩控制器的設計,最終實現了領航者和跟隨者沿相同目標軌跡運動的目標。