求數列通項公式的新視角
——構造常數列

趙世瑜

(甘肅省渭源縣第一中學,甘肅 定西 748200)

在等差數列、等比數列以外的一些特殊數列中,我們常用累加法、累積法和構造法求其通項公式,這些方法都對應某種特定的類型,運用起來程序性強,學生很容易掌握.筆者經過研究,發現此類問題可以通過構造常數列加以解決,現將自己的一些心得整理出來,希望能起到拋磚引玉的作用.

1 常數列的定義

如果數列{an}滿足an+1=an,則稱{an}為常數列,此時有an=a1.

2 構造常數列求通項公式

2.1 an+1=an+f(n)型

例2 在數列{an}中,a1=1,an-an-1=2n-3,n≥2,n∈N*,求{an}的通項公式.

解因為an-an-1=2n-3,所以an-(n-1)2=an-1-(n-2)2,n≥2,n∈N*,所以數列{an-(n-1)2}是一個常數列.

又因為首項為a1-(1-1)2=1,所以an=(n-1)2+1=n2-2n+2,n∈N*.

例3已知數列{an}滿足an+1-an=4n+1,且a1=1 求數列{an}的通項公式.

解因為an+1-an=4n+1,所以an-an-1=4n-3,n≥2,n∈N*.

所以an-(2n2-n-1)=an-1-[2(n-1)2-(n-1)-1],n≥2,n∈N*,所以數列{an-(2n2-n-1)}是一個常數列.

又因為首項為a1-(2×12-1-1)=1,所以an=2n2-n,n∈N*.

評注我們可以感受到此方法在語言表達上比用累加法顯得更加簡潔,同時肯定有人看完例2,3會感慨:此法只應天上有!其實不然,下面給出一般性的結論.

也許有讀者會問:g(n)是怎樣構造出來的呢?方法如下:

假設an-g(n)=an-1-g(n-1),則g(n)-g(n-1)=f(n),所以g(2)-g(1)=f(2),g(3)-g(2)=f(3),…,g(n)-g(n-1)=f(n),n≥2,n∈N*.

2.2 an+1=anf(n)型

例4 在數列{an}中,a1=1,an+1=2nan(n∈N*),求通項an.

類似地,我們可以得到以下結論.

g(n)的構造方法如下:

2.3 an+2=(1-λ)an+1+λan型

例5 已知數列{an}滿足:a1=2,a2=3,an+2=3an+1-2an(n∈N*),求數列{an}的通項公式.

解因為an+2=3an+1-2an(n∈N*),所以an+2-2an+1=an+1-2an(n∈N*),所以數列{an+1-2an}是以a2-2a1=-1為首項的常數列,即an+1-2an=-1,從而an+1-1=2(an-1).

又因為a1-1=1,所以{an-1}是以1為首項,2為公比的等比數列,所以an-1=2n-1,即an=2n-1+1(n∈N*).

我們可以把以上問題推廣到一般情景.

定理3數列{an}滿足:a1=a,a2=b,an+2=pan+1+qan(n∈N*,p2+4q≥0),

即x2=px+q,解得x=α或x=β,其中α+β=p,αβ=-q.

由①得an+1-αan=(b-αa)βn-1,

③

由②得an+1-βan=(b-βa)αn-1,

④

3 在高考中的應用

例6(2012年大綱全國卷)[1]函數f(x)=x2-2x-3.定義數列{xn}如下:x1=2,xn+1是過兩點P(4,5),Qn(xn,f(xn))的直線PQn與x軸交點的橫坐標.

(1)證明:2≤xn

(2)求數列{xn}的通向公式.

解(1)略.

例7(2008年四川卷理科)設數列數列{an}的前n項的和為Sn,已知ban-2n=(b-1)Sn.

(1)證明:當b=2時,{an-n·2n-1};

(2)數列{an}的通向公式.

解(1)略.(2)當b=2時,由(1)知,an=(n+1)2n+1.當b=0時,則an=2n-1;

該法在中學數學教學中2012年大綱全國卷[1]等有運用,我們的老師不僅要把解題技巧傳授給學生,更重要的是要教會學生思考問題、教會學生領悟數學的思想方法,從而理解數學的本質.因為思維是數學的靈魂,技巧是靈活的,但思想方法卻可以舉一反三. 我們可用常數控制變數,通過構造常數列來求解數列的通項公式[2].