2020年全國高中數學聯賽(A卷)一道解析幾何題的幾種新解法

鄭建濱

(福建省順昌縣第一中學,福建 南平 353200)

2020年全國高中數學聯賽一試試題(A卷)第11題,考的是雙曲線中的等腰直角三角形面積的最小值問題.雖然已過去三年,但經典永遠不會過時.最近筆者在給學生做競賽輔導時,又重溫了這道經典試題,并且在已有的解法上,又提出了自己的幾種新解法.

1 賽題再現

2020年全國高中數學聯賽(A卷)一試第11題原題如下:

在平面直角坐標系中, 點A,B,C在雙曲線xy=1上, 滿足ΔABC為等腰直角三角形,求△ABC的面積的最小值[1].

2 已有解法

圖1 雙曲線及其等腰直角三角形

①

②

③

由①×②, 并利用③, 得

所以由基本不等式, 得

(s2+t2)4=[-s2t2(s2-t2)]2

④

考慮④的取等條件, 有2s2t2=(s2-t2)2,

解法2同解法1得到①式和②式,把a作為常數, 解出s與t.

由均值不等式, 得

3 新解探究

[u(1-4u2)]2=u2(1-4u2)(1-4u2)

由|AB|=|AC|, 知

從而得到:

分別代入xy=1,得

因為△ABC是等腰直角三角形,

通過對聯賽中經典解析幾何試題的多解探究和深入研究,可以發散學生的數學思維,鍛煉學生的思維品質,讓學生通過解一道題,達到會解一類題的教學效果.同時,讓學生體會到了不等式、導數、三角函數、復數、幾何等知識和方法在解析幾何最值問題中的應用.此外,通過講解與訓練,學生的數學運算、邏輯推理等素養得到了一定程度的提升.