教學中“一題多解”對數學核心素養的培養
——以2022年高考數學比大小為例

周宗全 閆化宇

(莘縣第一中學,山東 聊城 252400)

2022年高考試卷考點分布合理,總體難度有所增加,但未出現偏、難、怪的題目,以《普通高中數學課程標準》為依據,以《中國高考評價體系》為最高原則,發揮出了數學科目選拔人才的作用.要求考生立足于教材,不拘泥于教材,活用教材,注重知識點之間的關聯、融合、升華,搭建知識體系,滲透數學思想方法[1].以常規解法為基礎,充分運用一題多解.文章通過對2022年高考數學卷中比大小類型的題目進行分析和整合,培養學生發散思維和通性通法解題的能力.

1 真題再現

2 解法展示

比大小題目為高考常規題目,為了考查學生對于函數的綜合運用能力,題目基本告別了“三段式”的結論,要求學生需具備構造函數、利用導數、函數放縮等多方面的解題方法和能力[2].

2.1 常規解法

比大小,一般采取作商、作差的方法,其中會用到構造函數的思想.以真題為例.

綜上所述,可判斷c

在判斷a,b大小時,可采用作商法,判斷比值與1的大小關系,具體解法不再贅述.

2.2 放縮法

高中階段常見放縮公式有:

以真題為例,其具體步驟如下:

前兩種方法較為常規,但不難看出前兩種方法需要學生具備較強的邏輯能力,考場壓力下會消耗大量時間,所以在平常的訓練中還是推薦通法,但課下還是可以了解一下其他解法和原理.我們知道對于非特殊的指數和對數一般很難算出它們的值,但我們可借助高等數學和其他領域的知識,從而快速求解這類題目.接下來我們將采取“泰勒公式”和“帕德逼近”方法求解此題.

2.3 帕德逼近

泰勒展開是一種很好的逼近方法,對許多函數都有很好的效果,然而,有時泰勒展開對某些帶極值的函數逼近的效果不盡如人意,本質原因是因為多項式級數的局限性.為此,我們可以考慮用分式來逼近函數,也就是所謂的分式逼近,一種常用的分式逼近方法為帕德逼近,帕德近似(Pade approximation)是一種特殊的有理數逼近的一種方法,是一種非線性近似方法[3].帕德近似往往比截斷的泰勒級數準確,而且當泰勒級數不收斂時,帕德近似往往仍然可行,以下列舉了兩種對數和指數的轉換方式.這種方法比泰勒展開收斂速度更快.主要應用于計算機數學領域,但對于高中函數方面有一定的作用,學生和教師可以適當地了解一下,拓展自己的知識領域.

2.4 背數法

在高中數學階段,熟記一些常見的特殊值也是必不可少的,對于一些題目的解答會帶來不錯的效果.下面根據題目進行變換,利用一些常見的數值帶入比較其大小.

常見的對數有:ln2≈0.693,ln3≈1.098,ln5≈1.609

以真題為例,其具體步驟如下:

背數法固然可行,但對于有些題目無法化簡成特殊數的形式,所以此方法適合一部分題目,不適合全部比較大小的題目.

3 一題多解的意義

通過觀察可以看出比大小題目類型多,方法不唯一,每種方法都有優缺點,所以一題多解的應用意義重大.現階段高中數學教學中,存在教學方法不合理的情況,從而限制了學生思維的開發,也不利于學生學習高中數學.比如題海戰術,該學習的方式是讓學生通過做大量的習題來熟悉并掌握相關知識,但這種學習方式卻給學生造成了很大的學習負擔和時間壓力,甚至導致部分學生厭惡學習數學,認為數學是一門既浪費時間,又收獲不大的科目.學生機械性地去做老師布置的題目,沒有時間對其所做的題目進行認真思考和總結,導致對需要掌握的知識不深入不具體.此外,很多學生受到此類教學方法的影響,導致學生的學習方法也會有一定的限制.很多學生只尋求一種解題方法,就認為已經滿足自己對此模塊知識的掌握要求,并未認真考慮是否有其他簡便快捷的解題方式[4].因此,一題多解的教學思路應當在高中數學教學階段普及,同時讓學生從中獲得更大的收獲.

4 一題多解,發散思維,提高能力

高中數學新課標指出,培養學生的數學思維能力是全面培養數學能力的主要途徑,數學是思維的體現,解決問題是學習數學的目的.發散思維是一種不依常規、尋求變異、從多方面尋求答案的思維方式.這種思維方式,不受現代知識的局限,不受傳統知識的束縛,與創造力有著直接聯系,是創造性思維的核心.培養發散思維能力既是培養學生創造力的重要環節,也是發展其個性的有效手段.

在數學科目上,一題多解是訓練、培養學生思維能力的一種行之有效的教學方式,是讓學生跳出單一思維模式,多種角度、多個方位地審視、分析問題,從而達到解決問題的目的.它能充分調動學生自行解決問題的主動性、積極性,讓學生全方位地思考解題的多種方法,不斷開發解題潛能.

用問題促進思維的發展即通過合理設計疑問,以促進學生自身思維多方向、多角度的發展.在訓練發散思維時,教師要注意使設計的問題既達到了激疑目的,又具有一定的開放性.

用變化求得發散思維.在課本習題的基礎上,通過變式進行訓練,努力挖掘教材知識的深度和廣度,尋求思維的發散點,結合已學和拓展的知識,從不同角度出發,尋找題目的最優解.教師需精心設計每一堂課,通過一步步的變式探究,一步步的引導,使學生在課堂上處于一種探究、探索的狀態,通過多角度探究達到訓練學生發散思維的目的.

教師需轉變教學思路,注重學生討論環節.在很多情況下,學生之間具有互相啟發的作用,他們之間的相互交流溝通,可使解題思路得到有效的分享.為了促進學生學習進步,教師應當采用學生分組合作學習的方式,小組成員之間共同探討、交流解答教師所布置的任務以及有幾種方法可以解答題目等,將多個學生的思維整合到一起,再以小組為單位展開探討.這種方式既能烘托學習氛圍,又能激發學生的求知欲望,學生學習數學的熱情高漲,從而提高學生的學習效率,達到全體學生相互幫助、相互促進學習的目的,同時加深學生對一題多解的學習方式,逐漸使其養成良好的學習習慣[5].

總而言之,熟練運用一題多解和多解一題是學生高中階段不可或缺的能力,教師需提高自身教學能力和教學水平,豐富自身知識領域,從而優化學生綜合素質,提高解題效率.