基于平衡化譜聚類算法的高拱壩結構地震易損性研究

蘇揚，張程，胡恩良

(1.云南師范大學 數學學院，云南 昆明 650500；2.云南省現代分析數學及其應用重點實驗室，云南 昆明 650500；3.長江水利委員會長江科學院，湖北 武漢 430010；4.流域水資源與生態環境科學湖北省重點實驗室，湖北 武漢 430010)

聚類算法是發掘數據的類別標記、揭示數據內在結構及規律的無監督學習算法.傳統的聚類算法主要包括K-means 法[1]、層次聚類法[2]，皆具備較好的數據處理效果.近年來，在識別數據典型特征時，一些學者將聚類算法引入到了地震工程研究領域中.Stojadinovi?等[3]基于K-means 法改進結構震后損傷評估的計算效率.Mariniello 等[4]將遺傳算法與K-means 法相結合，證實在對結構開展抗震安全評估時，聚類算法可以優化解決方案的可行性.在以往的抗震研究中，研究人員經常優先研究結構自身優化、震后評估問題，再對結構的抗震安全性能做出合理評價.鑒于實際震害資料的匱乏，如果得到的震害數據有限，也將很難全面評估結構的抗震效果.為此，地震易損性的研究受到了學者們的廣泛關注.

地震易損性是指在不同地震動激勵下，結構可能發生的破壞狀態[5]，研究方法通常分為專家法、經驗法及解析型研究法等[6].目前，在解析型地震易損性的研究中，通常需要增量動力分析法（incremental dynamic analysis，IDA）、多樣條帶分析法（multiple stripe analysis，MSA）和耐震時程分析法（endurance time analysis，ETA）等[7]執行大規模的非線性計算.雖然這些方法簡便、穩定且發展成熟，能得到較精確的結構性能評估效果，但是計算成本較高.

為了解決這個問題，一些學者提出以規范標準反應譜法[8]、應用技術委員會法（applied technology council，ATC）[9]、改進程序法[10-11]等篩選地震波子集以降低地震易損性計算成本.這些方法能大幅度降低計算量，但研究人員仍然面臨著所選地震波過多及無法合理選擇具有代表性的地震波問題.此外，傳統的地震波篩選方式較難涉及復雜的地震動強度指標（intensity measures，IM），在地震波隨機性的問題上也較難考慮全面，從而使得地震易損性的結果可能不夠準確.

學者們采用聚類算法來解決上述問題.例如，K-means、層次聚類法皆可以用于篩選地震波子集以降低易損性計算成本[12].然而，K-means 法僅適用于樣本分布為近似“超球”狀的數值型數據，層次聚類法不能回溯調整已構成的簇結構，具有不可逆性.并且，兩者在直接面對高維數據時也容易陷入“維數災難”的問題.

譜聚類（spectral clustering，SPC）是基于譜圖劃分的聚類算法[13].該算法適合對任意呈流行狀分布的數據進行聚類，適用于高維數據且具備收斂到全局最優解的特點.不過，要解決各種情形下的數據聚類問題，已有算法都是不完美的，SPC法也不例外.傳統的SPC 算法僅適用于原始各簇數據分布較均衡的情形.當面對各簇樣本數相差懸殊的類不平衡問題時，SPC 算法將不再適用.

基于上述分析，為了篩選出考慮復雜多指標且適用于評估所選結構抗震性能的典型地震波，本研究基于SPC 算法劃分了地震波的相似屬性及特征.同時，考慮到傳統SPC 算法的缺陷，提出將聚類隸屬度矩陣的近似正交約束與SPC 算法相結合的平衡化譜聚類算法（balanced spectral clustering，BSPC）.在該算法中，利用基于圖Laplacian 的隸屬度矩陣識別地震波的歸屬類別.以高拱壩工程為代表，構建了體現拱壩動力破壞機制的聚類易損性曲線，探索結構破壞模式及失效性態，以在減少地震波輸入的同時保證易損性結果的準確性.

1 聚類算法識別地震動樣本

1.1 算法介紹

1.1.1 平衡化譜聚類算法基本原理 SPC 算法通過無向帶權圖G=(V,E,W) 表示樣本點集及其鄰近矩陣，從而達到“簇內相近，簇間分離”的效果[13].其中，V為頂點集，E為連接頂點vi與vj之間邊的集合，E=eij；W為圖G的權重矩陣，該算法要求圖的頂點集V與樣本點集X一一對應.同時，采用一種保留數據局部特征的流行降維方法，即轉換圖Laplacian 矩陣，達到降維效果.定義圖Laplacian 矩陣為L=D-W.其中，D為度矩陣，D=diag([dii]n×n)，dii為頂點vi的度，.傳統SPC 算法具體可參考文獻[13].SPC 的優化問題表達式如下：

式中：I∈Rn×n為單位矩陣；F為聚類隸屬度矩陣，Fik表示樣本xi屬于第k類的隸屬度.根據隸屬度的含義，F第i行的Fi.應屬k-1 維單純形，即Fi.∈Δk=因此，本研究在式（1）的基礎上提出的BSPC 算法模型表達式為

式中：Lsym=D-1/2LD-1/2=I-D-1/2W D-1/2為正則化Laplacian 矩陣，W矩陣由K近鄰法構建.

由式（2）可知：

1）約束“Fi.∈Δk,i=1,···,n”僅使得數據點對各個聚類中心的隸屬度之和為1.0，而對各類樣本點的隸屬度總和沒有限制.在處理非平衡數據時，容易出現“大類”樣本的隸屬度總和過高，“小類”樣本的隸屬度總和過低的問題，可能會導致“均勻效應”問題的產生.因此，須對大類及小類的隸屬度總和施加“平衡”約束.

2）約束“FTF=I”對隸屬度矩陣施加正交約束“平衡”大類和小類的隸屬度總和[14].若約束隸屬度矩陣F滿足近似正交（FTF≈I），設F·p表示F的第p列，則存在

1.1.2 模型求解 利用文獻[15]中的跡懲罰函數求解式（2），則問題（2）轉化為如下罰函數模型：

式中：μ 為罰參數.經計算可知，式（5）等價于

式中：ε 為常數項.

由于式（7）的目標函數是二次函數，考慮應用Gauss-Newton（GN）法[16]對其求解.記S(Ft) 為g(F) 在點Ft處的GN 方向，則GN 的迭代格式為

式中：αt為步長.

根據文獻[15]，應用GN 方向的解析表達式求解式（7），其中，GN 方向的解析表達式為

1.2 聚類算法實現

平衡化譜聚類算法的求解步驟如算法1 所示.

算法1BSPC 算法

輸入：正則化Laplacian 矩陣Lsym、期望的聚類數k、罰參數 μ、最大迭代次數Titer、終止精度 ε ；

輸出：聚類隸屬度矩陣F*.

1) 設置t=0，初始點F0；

2) 根據式（9）計算GN 方向St=S(Ft) ；

3) 利用線搜索求St方向的歩長 αt，根據式（8）更新F為Ft+1=Ft+αtS(Ft) ；

4) 將Ft+1投影到單純形，即

輸出：F*=Ft+1.

1.3 地震動樣本篩選

為了準確反映拱壩結構真實性態，考慮震級、頻譜特性及持時的影響，從美國太平洋地震研究中心地震動數據庫中，根據水工抗震規范反應譜共選擇了109 條地震波（每條地震波有3 個方向），如圖1 所示.圖中，β 為譜加速度放大系數，Ttime為時間.具體篩選準則如下：1）參照文獻[17]的選波標準，以震級5～8 級，震中距0～100 km，剪切波速Vs＞500 m/s 作為基本篩選條件；2）每條地震波以0.1g為間隔，調幅10 次至1.0g；3）地震波歸一化處理，在非線性分析時考慮3 個方向的地震動作用.

圖1 地震動樣本反應譜曲線Fig.1 Response spectrum curves of ground motion samples

1.4 地震動強度指標選擇

目前，研究人員已提出了大量的IM 用于實現結構地震易損性研究[18].本研究參考上述文獻共選擇了50 個具有代表性的IM，詳細定義如表1 所示.

1.5 地震動樣本特征識別

考慮《建筑設計抗震規范》[8]以峰值加速度（peak ground acceleration，PGA）為設防標準，本研究以拱壩100 a 基準期超越概率2%的工程場地基巖地震峰值加速度0.325g作為標準化指標.在聚類時設置最大迭代次數T=1×105，精度 ε=1×10-6.采用肘部判別法[19]確定109 條地震波的聚類類別數，如圖2(a)所示.圖中，k為聚類數；Es為反映聚類算法畸變程度的簇內誤差平方和，該值越小，聚類效果越顯著.可知，隨著k逐漸增大，Es逐漸降低，當k=7 時，Es接近最低水平，斜率近似為0，表明選擇聚類數k=7，聚類效果較好.如圖2(b)所示為聚類算法收斂性效果圖.圖中，It為迭代次數，g(F)為目標函數值.可以看出，該算法收斂速度較快，在迭代范圍內能夠快速達到穩定效果.

理論上，計算的地震波數量越多，性能評估結果越可靠.Luco 等[20]研究發現，選取10～20 條地震波可以精確評估結構的抗震能力.因此，本研究將109 條地震波調幅10 次后的有限元結果（1 090 次）作為參照基準（整體樣本）.根據BSPC算法的思想，將109 條地震波聚類后（共7 簇）按照各簇隸屬度值降序排列，在每簇樣本中均勻選取15 條地震波作為聚類樣本.其中，均勻選取規則由各簇樣本數與整體樣本數（109 條）的比例決定，如

式中：NC為每簇所選聚類樣本點數，N為每簇地震波樣本點數.

另一個對比案例仍以1.3 節篩選標準作為基本條件，參考《建筑設計抗震規范》[8]中多組地震動時程分析的標準規定，并結合學者在大壩[21]結構地震易損性分析時應用的規范反應譜法，同樣在109 條地震波中選擇15 條作為反應譜樣本.考慮到本研究所選的109 條地震波反應譜的離散性較大，很可能導致反應譜樣本計算的反應譜均值與標準規范反應譜出現較大誤差，因此，參考文獻[22]的選波方式，以反應譜在[0.1,Tg]平臺段以及結構前5 階周期附近段為篩選標準，要求所選的15 條地震波的反應譜均值在上述2 段范圍內與標準規范反應譜的誤差不超過10%.

反應譜樣本的15 條地震波如圖1 所示，該15 條地震波的反應譜均值，尤其是對拱壩抗震性能起關鍵作用的譜周期1.0 s 以下對應的均值，與本研究標準規范反應譜最接近（15 條地震波的均值反應譜與標準反應譜在上述兩頻段內的數值誤差超過10%的少于5 個點）.

如圖3 所示為各類樣本的空間分布情況.圖中，F1、F2、F3為隸屬度值.在圖3 的整體樣本圖中，聚類后的7 類樣本數分別為10、12、13、13、15、21、25，可以發現樣本數量在簇間均勻分布（每類樣本數皆集中在約15 條），表明該算法避免了傳統譜聚類在篩選樣本時產生的均勻效應問題，提升了在類不平衡地震波數據集上的聚類效果，更符合工程實際.

圖3 各類地震波空間分布效果Fig.3 Spatial distribution of seismic waves of all types

與以往聚類算法不同的是，平衡化譜聚類算法通過轉換正則化Laplacian 矩陣達到降維的效果.在將原始數據轉換為Laplacian 矩陣時，對n維Laplacian 矩陣計算k個最小特征值，此時聚類個數k遠遠小于維數n，即降維到k，從而解決了地震動強度指標過多導致的“維數災難”問題.

如圖3 所示的分布圖表明，相較于聚類樣本，反應譜樣本存在過于集中的現象；聚類樣本能夠體現整體樣本的各簇特征，覆蓋整體樣本的空間更廣.主要原因如下：規范反應譜法對頻率特性的限制，導致篩選出的反應譜樣本的類型過于單一.考慮到地震易損性分析時所需地震波的隨機性，如果所選地震波未能完整覆蓋整體樣本的關鍵特征，易損性結果很可能無法全面體現結構的震害規律.

2 地震易損性基本理論

多樣條帶分析法是根據最大似然估計原理得到結構的地震易損性概率.靳聰聰等[23]的研究表明，MSA 法在一定結構分析數量下比IDA 法能夠更有效地估計易損性方程參數.易損性函數描述結構在對應地震動強度下達到或超過規定損傷極限狀態的概率，表達式為

式中：p為結構在 I M=X時發生破壞的概率，Φ 為標準正態分布函數，θ 和 σM分別為達到性能水準所需地震強度因子的平均值和對數標準差.

假定結構在不同地震動激勵下，當 I M=xi時，存在ni條地震波中有zi條地震波導致結構破壞的概率由二項分布給出，表達式為

假設每條地震動激勵下結構發生破壞的概率是獨立的，則似然函數如下：

將式（11）代入式（13），得到

式中：m為IM 水平數量.易損性方程參數 θ 和σM的最大似然估計如下：

3 拱壩介紹

3.1 模型建立

以雙曲型白鶴灘拱壩為例構建模型.該拱壩工程場地類別為Ⅰ類，場地基本地震烈度為Ⅷ度，100 a 基準期超越概率2%的工程場地基巖地震PGA 為 0.325g[17].拱壩壩頂高程834 m，壩高289 m，壩體上游正常蓄水位825 m，下游水位604 m，更多模型參數可參考文獻[24]、[25]，如表2 所示.圖中，E為彈性模量，ρ 為密度，ν 為泊松比.考慮到工程實際，對現有數值模型進行適當簡化，地基部分延伸為約2 倍的拱壩壩體結構高度及寬度.該有限元模型共36 178 個單元、40 286 個節點，坐標y軸負向為順水流向，z軸正向向上.壩體及地基均為Solid 65 單元，少部分壩肩銜接處采用六節點棱柱體單元.

表2 拱壩結構各項材料參數Tab.2 Various material parameters of arch dam

3.2 基本條件

在進行非線性分析時在地基邊界截斷處設置彈簧-阻尼器實現黏彈性邊界的施加[26].壩體共計30 條橫縫，考慮到計算時拱壩收縮縫產生的開合-接觸-滑移現象，選用商業軟件ABAQUS 提供的動態接觸模型.在接觸設置時僅考慮橫縫的張開與閉合，接觸面之間的相互作用遵循接觸-嵌入原則[27].同時，引入Lee 等[28]提出的混凝土塑性損傷本構研究壩體損傷特性，本構設置參數可以參考文獻[29].此外，由于本研究拱壩模型僅在壩面上下游鋪設鋼筋，壩面位置仍采用混凝土的彈性模量代替鋼筋混凝土的彈性模量，并忽略鋼筋的強化階段，選擇理想本構模型代替[30].針對白鶴灘拱壩進行模態計算，選擇Chen[31]修正的動水壓力模型實現正常蓄水位的模擬，獲取的前5 階模態振型圖如圖4 所示.該模態結果與文獻[32]中白鶴灘拱壩提取正常蓄水位下的振動數據響應模態較吻合，最大模態差異值僅6%.參考關于拱壩抗震的類似文獻成果[26-27]，在地震分析時選用瑞利阻尼，阻尼比為5%.

圖4 拱壩有限元模型及模態振型圖Fig.4 Finite element model of arch dam and modal shape

4 拱壩地震易損性研究

4.1 性能指標判定及極限狀態劃分

目前，學者們將峰值位移、應力分布、損傷等性能指標作為拱壩性能分析時的常用指標.姚霄雯[33]根據拱壩概率需求曲線的斜率突變特性，分別選擇拱冠梁頂部位移、橫縫開度及切向滑移指標評估拱壩抗震性能.Wang 等[34]結合大崗山拱壩的損傷分布及橫縫開度，量化了性能指標的極限狀態.李靜等[35]認為壩面損傷面積比及壩體損傷體積比可以清晰地反映拱壩結構損傷規律.范書立等[17]建立以拱冠梁頂部位移、橫縫開度、損傷體積比3 項性能指標為基準的白鶴灘拱壩易損性曲面，Xu 等[36]證實上述3 項指標具備評估拱壩抗震性能的能力.Song 等[37]針對白鶴灘拱壩開展了穩定性實驗研究，表明拱壩壩頂位移值得關注.

在現行的各類結構抗震規范中，位移仍是常用的衡量標準.從宏觀角度來說，依照位移、損傷定義的性能指標也更容易直觀地描述結構極限承載能力.基于此，參考上述研究成果，分別以壩頂上游方向位移（DT）、橫縫最大開度（C）、損傷體積比（DVR）作為拱壩結構性能指標，其中損傷體積比定義為

式中：dt為宏觀開裂損傷指數，ve為每個單元的體積，規定dt＞0.8.

結合文獻[17]對白鶴灘拱壩性能指標的定義標準，將拱壩損傷發展歷程的4 個階段作為極限狀態劃分的典型標志，分為基本完好、輕微破壞、中等破壞、嚴重破壞4 類，并以每條地震波達到上述4 種極限狀態時的均值量化結構性能指標限值.拱壩各類樣本的性能水平劃分取值如表3 所示.

4.2 拱壩性能評估

4.2.1 不同類別樣本計算結果統計 根據表3 的極限狀態取值，將1 090 次計算數據（整體樣本）、15 條聚類及反應譜樣本的計算數據劃分為4 種極限區間，繪制如圖5 所示的統計圖.圖中，Ls表示各性能指標的極限狀態值.可以看出，在各極限狀態下，整體樣本與反應譜樣本、聚類樣本的各Ls(DVR)、Ls(DT)均存在相應誤差；聚類樣本的Ls(C)與整體樣本的基本吻合，表明在此類性能指標下，聚類樣本的計算數據對拱壩地震響應Ls的影響與整體樣本的具備一致性.

圖5 各類樣本的有限元計算點統計結果Fig.5 Statistical results of finite element calculation points of all types

對比整體樣本，反應譜樣本的計算數據分布更緊湊，部分區域已出現空白.其中，在SD 極限狀態下，Ls(DVR) 的計算數據僅覆蓋到0.4g，Ls(DT)與Ls(C)指標值也僅覆蓋到0.5g，未能體現整體樣本在其他地震動強度下的計算數據點.觀察MD、ED 區間，也同時存在著計算數據點分布不足的現象.出現這種現象的主要原因很可能是應用反應譜法篩選的地震波未能完全體現整體樣本的關鍵特征，從而會丟失一些能夠反映整體樣本的關鍵計算點.相對來說，聚類樣本的計算響應值在不同地震動強度下分布更稀疏，覆蓋整體樣本的效果更明顯.除了Ls(DVR)指標的少數計算數據存在缺失，Ls(DT)、Ls(C)指標基本占據了整體樣本計算數據的各分布區域，對各極限狀態的區間皆有良好表現，這與聚類算法在篩選地震波時體現整體樣本各簇特征的基本思想保持一致，表明聚類算法效果顯著.

4.2.2 聚類及反應譜樣本結果離散性分析 由于3 類樣本的有限元結果在不同地震動激勵下的標準差及均值皆不相同，因此，為了評估3 類樣本在不同地震動強度下有限元結果的接近程度，選用變異系數CV 進行分析：

式中：σ、v分別表示不同地震波在相同地震動強度激勵下響應值的標準差與均值.

各類樣本的CV 分布情況如圖6 所示.可以看出，3 類樣本的CV(DVR) 均分布在0.20～1.80，CV(DT)、CV(C)主要集中在約0.75.反應譜樣本、聚類樣本與整體樣本在CV(DVR)上的最大差異分別為0.148、0.142，在CV(DT)、CV(C)上的最大差異分別為0.085、0.128 與0.063、0.095，表明聚類樣本與整體樣本的誤差更小.此外，在所有地震動強度下，3 項指標的聚類樣本與整體樣本的所有CV 誤差大多小于0.050，表明聚類算法篩選的地震波與整體樣本的計算結果存在較高的一致離散性.

圖6 各類樣本的變異系數統計圖Fig.6 Statistical chart of coefficient of variation of all types

4.2.3 拱壩結構地震易損性分析 如圖7 所示為各類樣本的地震易損性曲線.圖中，Pf為易損性概率.可以看出，所有易損性曲線在地震動強度變化范圍內皆呈現出斜率先增大后平穩的趨勢；聚類及反應譜樣本與整體樣本的易損性結果基本保持一致，所示曲線的最終Pf均大于80%.

圖7 各類樣本地震易損性曲線圖Fig.7 Seismic fragility curves of all types

在SD 極限狀態下，當PGA=0.2g時，整體樣本的Pf(DT)與Pf(C)分別為56.46%、58.29%，同等條件下，反應譜樣本的Pf(DT) 與Pf(C)分別為66.18%、60.90%，聚類樣本的Pf(DT)與Pf(C)分別為53.58%、51.65%.當PGA=0.4g時，所有類別的Pf皆大于80%.可以看出，本研究拱壩結構在發生超過0.4g的地震時，壩踵弱部位產生小規模損傷及裂縫的可能性較大.

在MD 極限狀態下，當PGA=0.3g時，整體樣本的Pf(DT)與Pf(C)分別為55.70%、56.22%，此時，所有類別樣本的易損性曲線上升趨勢皆逐漸變緩，斜率降低.PGA＞0.6g時，所有易損性曲線的Pf皆逐漸超過80%，表明當PGA＞0.6g時，拱壩薄弱部位結構很可能已經發生宏觀開裂現象.例如，拱壩下游面中部及上部結構，均會產生不同程度的損傷，須進行少量修復.

在ED 極限狀態下，當PGA=0.1g時，所有類別樣本的各Pf均保持在1%～7%，當PGA=0.5g時，3 類樣本的Pf(DT) 分別為59.57%、63.22%、57.02%.當PGA=0.8g時，3 類樣本的Pf逐漸超過80%，表明發生大于0.8g的地震時，個別部位如壩踵及壩體下游中上部很可能已經出現嚴重的開裂現象，影響拱壩的安全穩定.

綜上所述，3 類樣本在PGA＜0.4g時，所有SD 極限狀態的易損性曲線皆呈現出斜率較大的陡峭趨勢，說明當發生類似強度的地震時，本研究拱壩將很難維持完好無損狀態，容易超過性能指標的第一極限狀態.并且，所有易損性曲線的最終Pf皆能達到80%以上，表明本研究拱壩仍受到強震威脅.

4.2.4 聚類及反應譜結果誤差分析 從概率的角度審視聚類及反應譜樣本的易損性曲線差異.以整體樣本的易損性曲線作為參照基準，分別將PGA=0.1g～1.0g的反應譜樣本、聚類樣本的Pf進行誤差統計，分析不同地震動強度激勵下兩者的誤差分布情況.如圖8 所示為各類樣本地震易損性曲線誤差分析圖.圖中，Er為易損性概率誤差所占百分比，PD為誤差概率密度值.

圖8 各類樣本地震易損性曲線誤差分析圖Fig.8 Error analysis of seismic fragility curves of all types

圖8 中左圖表明，不同地震動強度下反應譜樣本與整體樣本的易損性概率差異點分布稀疏，Er主要分布在0～15%，絕大多數Er為5%～10%.相比而言，聚類樣本與整體樣本的易損性曲線更吻合，除極個別結果外，兩者Er主要集中在1%～5%.并且，在所有地震動強度下，聚類樣本與整體樣本的最大Er僅為4.39%、3.84%、6.64%，明顯小于反應譜樣本的Er（13.37%、11.39%、7.83%）.

圖8 右圖為誤差正態分布概率密度函數曲線.可以看出，聚類樣本與整體樣本的Er(DVR)，Er(DT)小于5%的最小概率分別為92.24%、99.19%.同等條件下，反應譜樣本的計算結果僅為30.09%、82.14%.在SD、MD 極限狀態下，聚類樣本的Er(DVR)、Er(DT)不超過5%的概率皆接近100%，而此時反應譜樣本的Er(DVR)不超過5%的概率僅為49.72%、74.85%，Er(DT)不超過5%的概率僅為38.88%、53.94%.只有在SD 極限狀態下的Er(C)指標上，聚類樣本該值不超過5% 的概率小于90%，但仍遠遠大于該條件下的反應譜樣本概率（53.63%）.

此外，聚類樣本在SD 極限狀態下，與整體樣本的最大Er(C)僅為6.64%，仍然小于同等條件下的反應譜樣本Er(C)（7.83%）.并且，在另外2 種極限狀態MD、ED 下，聚類樣本誤差Er(C)＜5%的概率皆接近100%，也遠遠大于該狀態下反應譜樣本的概率（53.63%、74.16%）.

另外，較聚類樣本而言，除了Er(C)的SD 極限狀態，反應譜樣本的所有誤差正態分布的均值及標準差值皆更大，證實聚類樣本與整體樣本的地震易損性曲線更接近，同時也表明采用聚類樣本代替整體樣本進行拱壩地震易損性評估可靠性更高.僅通過少量的樣本子集可以達到100 多條整體樣本的預測效果，驗證了本研究聚類算法具備描述整體樣本典型特征的能力，在保證地震易損性概率準確性的同時可以顯著降低計算成本.這一結論也能夠根據圖3、5 得出，圖5 中就各類樣本的地震響應值的分布情況預測了地震易損性結果，表明在地震易損性分析時，充分考慮地震動的隨機性不容忽視.

值得說明的是，應用規范反應譜法可以獲得多數滿足要求的地震波，但該方法也容易忽略與結構或場地相關的一些具有代表性的地震波（如圖3 的邊緣部分），無法充分考慮地震動的隨機性，使得易損性的結果很可能不夠準確.在結構抗震性能評估時，聚類算法是對傳統地震波篩選方式的一種補充.該算法根據地震動強度指標的基本特性將原始地震波劃分為不同簇，再從每簇樣本中篩選出具備代表性的地震波，彌補了傳統選波方式的不足.

5 結論

（1）所提BSPC 算法篩選出的聚類樣本具備描述整體樣本典型特征的能力，在損傷體比、壩頂位移、橫縫最大開度這3 個性能指標中，兩者最大誤差僅為4.39%、3.84%、6.64%，兩者誤差不超過5% 的最小概率分別為92.24%、99.19%、81.75%，表明聚類算法篩選的樣本與整體樣本的易損性結果具備一致性.

（2）在SD 極限狀態時，3 類樣本的地震易損性曲線在PGA＜0.4g的條件下，皆呈現出斜率較大的陡峭趨勢，說明當發生類似強度的地震時，本研究拱壩結構將很難維持完好無損狀態，容易超過結構性能指標的第一極限狀態.

（3）在所有極限狀態下，聚類樣本、反應譜樣本與整體樣本的地震易損性結果基本保持一致，最終的易損性概率均大于80%，表明本研究拱壩仍然容易受到強震威脅.

（4）本研究提出的聚類算法BSPC 是對傳統篩選地震波方式的一種補充.該算法根據地震動強度指標的基本特性從原始地震波中篩選出了具備代表性的地震波子集，彌補了傳統選波方式的不足.

（5）本研究側重于譜聚類算法的改進及在地震工程領域中降低易損性計算量的應用，但本研究僅在MSA 易損性方法下開展.因此，后續應當研究聚類算法在不同易損性方法上的應用，充分考慮聚類算法對各易損性方法的潛在影響.