主控型液體靜壓軸承轉子系統的模型辨識

王康,陳淑江,徐春望,路長厚

(山東大學 機械工程學院,濟南 250061)

隨著機床加工精度的日益提升,人們對高精度、高效率加工表面的要求不斷提高,靜壓、動靜壓技術的重要性逐年加強。主控型液體靜壓軸承轉子系統是一個多輸入多輸出的非線性系統,如何得到表達準確且滿足實時控制要求的系統模型是目前研究的關鍵。

現階段靜壓滑動軸承轉子系統的建模主要為理論建模,即通過流體平衡方程、雷諾方程等理論推導出靜壓軸承所提供的油膜力與主軸的運動關系,并通過仿真及少量試驗驗證模型的準確性:文獻[1]通過理論建模的方法建立靜壓軸承系統模型,再利用分數階參數整定方法對PID參數進行整定,并仿真比較不同優化算法得到系統的最優參數;文獻[2]建立了伺服節流的靜壓推力軸承的系統動態特性數學模型,在不同載荷下仿真分析系統的伺服節流動態特性,驗證了主動伺服節流技術可以應用在靜壓軸承上;文獻[3]建立了四油腔主控型靜壓軸承的數學模型,仿真結果表明四油腔主控靜壓軸承相比傳統靜壓軸承具有較好的動態特性。

液體靜壓軸承轉子系統結構復雜,理論建模時需進行大量公式推導計算,影響主動控制的實時性,而系統辨識方法可以在保證系統特性的前提下得到響應迅速、結構簡單的精確系統模型:文獻[4]采用在線辨識的方法對某個磁懸浮工作臺進行辨識,得到該系統的模型結構及模型參數,通過試驗分析發現所辨識的模型比理論模型準確性更高;文獻[5]在靜壓軸承轉子系統的主軸小位移處建立分段模型,利用預測誤差法求解模型參數,通過與已辨識的參數擬合得到了系統參數的變化規律,進而得到系統的動力學方程;文獻[6]采用頻率響應法得到磁懸浮軸承轉子系統的幅頻特性,進而與實際系統輸出擬合辨識出系統的三階傳遞函數,辨識出的模型比理論模型更為精確。

理論建模復雜,計算費時,難以在實際控制應用中實施;而使用系統辨識的方法,通過大量試驗數據對靜壓滑動軸承轉子系統的參數與結構進行辨識,再將辨識出的模型與實際輸入輸出相比較進行擬合驗證,所得模型將更為精確,更具有工業應用價值。為滿足控制要求并提高系統模型的準確性,本文建立主控型靜壓軸承轉子系統的理論模型,選擇頻域辨識法對實際系統進行辨識得到辨識模型;將辨識模型與實際系統輸入輸出對比以分析辨識系統的準確性,采用模型預測控制(Model Predictive Control,MPC)的主動控制方法進行仿真,與傳統PID控制方法進行比較并分析控制效果,以驗證辨識模型能否滿足控制要求。

1 理論建模

1.1 液體靜壓軸承系統

主控型靜壓主軸系統如圖1所示,包含主動單面薄膜節流閥、 固定節流器、 嵌入控制油腔的四油腔靜壓軸承及主軸,圖中O為軸承中心,Oj為主軸中心,主軸系統參數見表1。液體靜壓軸承結構如圖2所示,四油腔靜壓軸承各油腔由控制油腔和承載油腔構成,控制油腔與承載油腔通過封油邊隔開,控制油腔由主動節流閥供油,承載油腔由毛細管節流器供油,承載油腔主要承受主軸的重力,控制油腔為主軸提供油膜力以控制主軸位移,為防止各個油腔在運動時產生耦合效應,采用回油槽將各個油腔隔開。

表1 主軸系統參數

1—主動單面薄膜節流閥;2—固定節流器;3—嵌入控制油腔的四油腔靜壓軸承;4—主軸。

圖2 液體靜壓軸承結構圖

1.2 軸承油膜力計算

油膜力分析簡圖如圖3所示。靜壓軸承在水平和垂直方向產生的油膜力分量分別為Fx和Fy,Fx1和Fx2分別為左、右控制油腔產生的油膜力,Fy1和Fy2分別為上、下控制油腔產生的油膜力,有

(1)

圖3 油膜力分析簡圖

根據文獻[7]可得,油膜力以x,y正方向為正,則軸承油膜力計算式為

(2)

式中:L為靜壓軸承寬度;p為油膜壓力;θ為軸瓦包角,起始位置為x正半軸,逆時針方向增大;r為主軸半徑。

1.3 主軸軸心運動方程

主軸受力簡圖如圖4所示,主軸在工作過程中受到重力、油膜力以及外載荷的作用[8],其運動方程為

(3)

圖4 主軸受力簡圖

式中:m為主軸質量;Qx,Qy分別為外載荷在x,y方向的分量。

2 系統模型的頻域辨識

2.1 辨識原理與方法

當前,復雜系統建模的方法主要有黑箱、白箱和灰箱。即便靜壓滑動軸承轉子系統結構已知,但因結構復雜,研究系統各個環節參數難度高,工作量大,為得到滿足實時控制要求的簡易系統模型,將系統視作“黑箱”模型。

經前期研究發現,靜壓軸承轉子系統在轉速偏低、主軸位移范圍偏小的情況下可視作線性定常系統[10]。諧波信號的幅值應選取適當,幅值過大可能會導致系統高頻失穩,幅值過小可能與過多干擾信號摻雜,不易區分。因此,為簡化試驗,在轉子不轉的情況下采用頻域響應分析法對系統進行辨識,具體步驟為:用AD5689模塊對主軸x方向輸入幅值3 V,頻率1～200 Hz的一系列正弦波激勵信號S1,通過AD7606模塊采集系統的響應輸出信號S2;通過MATLAB將S1與S2作比值,進行傅里葉離散變換,兩者比值即為系統的幅頻特性,將其表示為幅值與相位的形式。系統辨識信號輸入輸出過程如圖5所示,公式為

(4)

圖5 系統辨識信號輸入輸出過程

式中:|G(jω)|為系統的幅值;ω為角頻率;φ(ω)為系統的相位。

繪制軸承系統伯德圖(圖6),繪制規則為相對于頻率的對數尺度,|G(jω)|對數幅值的標準表達式為20lg|G(jω)|,單位為dB。

圖6 靜壓軸承系統伯德圖

由圖6可知:在輸入信號的頻率較低時,系統的幅頻特性變化基本穩定在40 dB左右,反映了信號的低頻增益;系統的相頻特性曲線約為90°左右,隨著頻率增大,系統的相頻特性曲線持續緩慢衰減,在信號頻率增大至100 Hz后,相頻曲線逐漸趨于穩定,顯示系統相位滯后約180°。因此,實際系統特性更貼近于二階系統,故采用二階系統的傳遞函數對實際試驗數據模型進行擬合。

現采用文獻[11]的方法進行擬合,假設傳遞函數的一般結構為

(5)

式中:G(s)為以s為系數的傳遞函數;an,bm為需要擬合的參數。

令s=jωk可得

Rk+jIk,

(6)

式中:Rk,Ik分別為ωk的實部和虛部。在(6)式兩邊同時乘以公分母后,分離實部和虛部并讓實部和虛部相等,則

(7)

(8)

聯立(7)和(8)式可得

(9)

則(9)式的完全公式為

(10)

sk=Rk+Ik;k=1,2,…,m,…,x,

Tk=Rk-Ik,

x=m+n+1。

(11)

將所有的頻域辨識數據代入 (10)式即可得到an和bm。

通過以上擬合方法,得到系統傳遞函數為

(12)

2.2 模型驗證

為驗證辨識模型的準確性,設計靜壓軸承轉子系統擬合試驗:使用(12)式傳遞函數在Simulink工具中搭建仿真模型,在實際試驗中對軸承系統供油1 min,轉子轉速為0,待軸承系統供油穩定,打開數據采集系統,同時在試驗系統和仿真系統中輸入幅值3 V,頻率10 Hz的正弦信號,采集試驗系統與仿真系統的輸入輸出信號,持續2 s,停止供油,結束試驗。

靜壓軸承轉子試驗系統如圖7所示,由機械部分、控制部分和測試部分組成。機械系統主要包括機床主軸、電動機、靜壓滑動軸承;控制部分主要包括控制器、壓電陶瓷位移驅動器及電壓放大器;測試部分包括渦流傳感器以及信號產生與采集系統。試驗時通過控制器輸入測試信號,經電壓放大器放大后輸入到壓電陶瓷位移驅動器,壓電陶瓷位移驅動器對主動節流閥進行驅動控制,進而控制軸承內油膜力的變化。

圖7 靜壓軸承轉子試驗系統

通過MATLAB處理試驗數據后,將得到的仿真結果與試驗數據進行對比,為更好地表現擬合程度,需要將試驗數據進行濾波,常用濾波算法有限幅濾波、限速濾波、中值濾波、算術平均濾波以及滑動平均濾波等。在實際的數據采集中,各傳感器的采樣數據必然存在隨機噪聲,平滑濾波方法將連續N個采樣值作為一個隊列,每采樣到一個新數據放入隊尾,并且舍棄隊首的一次數據,將隊列中的N個數據進行算數平均運算,具有平滑度高,可有效消除信號中隨機誤差的特點,因此對試驗數據進行平滑濾波。濾波前后試驗與仿真數據對比如圖8所示。

(a) 濾波前

由圖8可知:濾波后仿真模型輸出與實際試驗輸出電壓擬合效果較好,仿真模型能很好地描述系統在低頻低電壓下的實際特性,驗證了辨識模型的準確性。

3 主動控制仿真試驗

為研究靜壓軸承轉子辨識系統的可控性以及不同控制方法的控制效果,采用實際工業應用中常用的定載荷測試辨識系統的系統特性。PID控制為實際工業中應用極為廣泛的一種控制策略,魯棒性強且結構簡單,大多數系統使用常規PID控制即可達到控制效果。MPC作為一種新興控制技術,用于高度復雜的多變量控制設計,其建立在描述系統變量(輸入、系統狀態、輸出)之間動態關系的開環模型上。選用MPC控制方法是因為其控制的精確度十分依賴系統模型,可以進一步驗證系統模型的準確性。基于系統辨識模型構建軸承轉子仿真系統,分別設計PID以及MPC控制器控制系統響應,在延遲1 s后對系統輸入階躍信號1 V,PID與MPC控制方法下的仿真控制效果如圖9所示。

圖9 PID與MPC仿真控制效果圖

與PID控制相比,基于MPC控制器的系統響應最大波動量降低了約80%,調節時間也明顯小于PID,控制效果較PID控制有較大提升。這是因為MPC控制方法精確度更加依賴模型,可以預測系統的運動軌跡,因此能誘導控制變量減少其與參考軌跡的差異值;而PID控制方法對模型依賴程度低,往往是運動出現偏差后再進行調整。

4 結束語

通過將系統整體看作“黑盒子”的辨識思想,利用靜壓主軸轉子系統在低頻低電壓下的系統特性更接近于線性系統,對系統輸入輸出進行辨識,得出靜壓主軸轉子系統在低頻低電壓范圍下的系統特性更接近于二階系統,并通過公式計算得出系統的傳遞函數,試驗和仿真數據對比驗證了傳遞函數的準確性;基于模型設計MPC控制方法并與PID控制方法進行比較,結果表明MPC具有更優的控制效果。