單相中頻逆變器中的雙分數階重復控制策略

王曉雷，張 臣，郭飛亞

（中原工學院電子信息學院，鄭州 450007）

0 引言

隨著航空技術的飛速發展，航空領域對交流電源供電系統輸出的電壓、電流頻率的要求也越來越高。并且由于航空領域的特殊性，需要在保證交流電源能輸出高頻的前提下具有更高的精確度和穩定性，使輸出的電能質量更高。360～800 Hz 變頻逆變電源可以應用于航空領域，滿足航空領域對交流電源的高頻需求，但是傳統的變頻逆變器存在控制精度不高，輸出電壓波形畸變等問題，導致輸出的電能質量較差。因此在不考慮變頻逆變器拓撲情況下，變頻逆變器的控制策略研究引起了廣泛關注。

在變頻逆變器的控制策略中，最常用的有PI 控制、PR 控制、重復控制（RC）以及復合控制等控制方式。其中PI 控制應用最為廣泛，因為其設計簡單，參數易整定[1]，但是PI 控制很難高精度地控制交流量，同時在帶整流性負載時，輸出電壓的穩態誤差較大[2]。因此，有學者提出采用PR控制，設計多個諧振點去抑制輸出電壓波形發生畸變[3-4]，但是這種控制方案僅對于頻率小范圍變化的逆變器有效，而對于可大范圍調頻的變頻逆變器控制效果較差[5]?；趦饶Ｔ淼腞C 能對輸入信號實現無靜差跟蹤[6-7]，但是RC 對于變頻逆變器參考頻率大范圍變化時，控制器則難以跟蹤輸入信號，存在較大靜差。復合控制集合了多種控制方式的優點，但是其控制系統結構復雜，參數計算困難，增加了設計難度，不利于實際應用。

本文將雙分數階重復控制的控制策略應用到360～800 Hz單相變頻逆變器中，設計了分數延遲FIR 濾波器，分數相位補償，簡化了控制器的參數計算，保證了控制器對輸入信號的精確跟蹤，以及相位補償的精度。提高了系統的穩態性能[8]，對逆變器的輸出波形質量有了顯著的改善，最后通過仿真實驗證明方案的可行性。

1 系統數學模型

單相中頻逆變器模型如圖1 所示，圖中udc為直流母線電壓；VT1～VT4 為逆變器開關管；ui為橋臂側電壓；iL為電感電流；R為電路等效電阻；L為濾波電感；ic為電容電流；C為濾波電容；io為輸出電流；uo為輸出電壓；uref為參考電壓。

圖1 單相中頻逆變器模型

由此可得單相中頻逆變器的數學模型為：

式中：d(t)為占空比。

忽略系統的采樣延時，根據系統的數學模型，變換后可得被控對象的傳遞函數為：

2 分數延遲FIR濾波器設計

傳統的重復控制器對頻率變化非常敏感，即便是很小的頻率變化，也會使得傳統重復控制器性能下降，抑制諧波能力不足，導致逆變器輸出波形質量變差。分數階延遲的思想，就是通過對重復控制器內膜的改造，可以得到任意數值的N，使重復控制器對參考頻率變化具有很強的適應性。

本文方案就是基于有限沖擊響應（FIR）濾波器[9-11]的分數延遲近似方法。當周期采樣數N不為整數時，可以令：

式中：int(N)為整數部分；D為分數部分。

則可以得到：

z-D可以使用拉格朗日線性插值法[12]進行計算，計算公式如式（5）所示。

式中：h(n)是濾波器的系數；M是濾波器的階數；M的取值一般為D的2倍。

在做分數延遲時，D的取值范圍是1～2，所以，取M= 3，表1列出了z-1.1～z-1.9的系數。

表1 M=3時z-1.1～z-1.9的系數

以實際參數為例，當載波頻率fs= 40 kHz，輸出頻率為f= 600 Hz，此時N≈66.7，則有z-66.7=z-65·z-1.7，由表1可得：

3 分數階重復控制器設計

重復控制的基本原理就是內模原理[13]，內模原理的意義就是將輸入信號放在一個穩定的閉環系統中，當不存在輸入信號時控制器也能穩定的輸出信號，保證輸入信號能被輸出信號精確地跟蹤。

重復控制能將上一周期的誤差信號與本周期的誤差信號一起施加到被控對象上，重復利用誤差信號達到重復控制的效果，從而提高控制器的跟蹤精度。傳統的重復控制內膜的傳遞函數為：

離散后的重復控制內膜為：

式中：N=fs/f，N為每個周期采樣數，fs為載波頻率，f為輸出頻率；z-N為基波周期延遲環節，作用是將控制器的輸出延遲一個基波環節；Q(z)一般為低通濾波器或是一個小于1的常數[14]，用來削弱誤差信號累加造成的影響。

本文采用了一種基于有限脈沖響應的分數階重復控制的控制方案，其控制系統框圖如圖2所示。

圖2 分數階重復控制系統框圖

圖中補償環節C(z) =krzkS1(z)S2(z)，比例項kr為幅值增益，可以用來控制加入補償量的強度。增大kr，系統的響應速度會變快，但是系統的穩定性會變差。zk為相位補償環節（k＞0），用來補償由控制對象P(z)和低通濾波器S2(z)引起的系統相位滯后，使得zkS2(z)P(z)在中低頻段沒有相移。S1(z)為零相移陷波器，能將被控對象的中低頻段的增益校正為1，并抵消被控對象的諧振尖峰。S2(z)為低通濾波器，能增強前向通道的高頻衰減特性，提高系統穩定性和高頻抗干擾能力。

3.1 Q（z）的設計

Q（z）可以削弱控制器誤差信號累加造成的影響，是控制系統實現無靜差跟蹤和維持穩定性的重要參數。Q（z）一般設計為低通濾波器或是一個接近1，且小于1的常數。當Q（z）取常數為1 的時候，能實現無靜差跟蹤，減小Q（z）會破壞無靜差特性，控制系統穩定性降低，但是諧波抑制能力會增強。

對比Q（z）取常數的方法，當Q（z）為低通濾波器時，控制系統的穩定性會提高，但是在中高頻段諧波抑制能力會下降。為提高控制系統的穩態性能，經過綜合分析，選取Q（z）為低通濾波器Q(z) =(z+ 2 +z-1)/4。

3.2 補償環節S1(z)、S2(z)的設計

為實現系統的零相位補償，補償器C（z）最好為控制對象P（z）的倒數。然而現實中往往無法獲得精確的P（z）模型。此外，逆模型可能具有單位圓以外的極點，導致系統不穩定。最常用的方法就是根據P（z）的結構特點和頻率特性，通過設計相應的陷波器S1(z)、低通濾波器S2(z)、相位超前環節zk去補償P（z）。如圖3 所示，在未補償的情況下，可以看出P（z）的幅頻特性曲線存在諧振峰。本文設計了一種零相移陷波器來抑制諧振峰，零相移陷波器基本公式如式（10）所示。

圖3 P（z）補償前后的幅頻特性曲線

式中：m為濾波器的階數。

式（10）可以寫為：

根據陷波器的設計準則，第一個陷波點是中頻范圍內的諧振點。設S1(θ) = 0，則可以得到：

而ω= 2πfr，已知LC的諧振頻率為fr= 9 980 Hz，采樣時間Ts= 1/fs，載波頻率fs= 40 kHz，可得m≈2，因此陷波器的設計為：

從圖3 中可以看出，加入陷波器后只能在陷波點產生顯著衰減。為了在高頻范圍內實現明顯的衰減，本文設計一個截止頻率為8 kHz四階巴特沃斯低通濾波器[15]來增強高頻抑制能力，濾波器的傳遞函數為：

系統加入陷波器和低通濾波器補償之后的伯德圖如圖3 所示，不僅消除了諧振峰，更是增強了前向通道的高頻衰減特性，提高了系統的高頻抗干擾能力。

3.3 分數相位超前FIR濾波器設計

采用整數階相位補償，k分別取值2、3、4 時，zk對S1(z)S2(z)P(z)相位補償如圖4所示。由圖可以看出當k=4 時，隨著頻率的增大，zk對S1(z)S2(z)P(z)的相位補償明顯超過了其所需要的，達不到零相移的目的。而當k=3 時，隨著頻率的增大，補償效果又略顯不足?？梢?，整數階相位補償不能解決使系統零相移的問題，本文采用了一種分數相位超前的設計方案。

圖4 整數階相位補償相頻特性曲線

設計方法與上述分數延遲FIR 濾波器設計方法相同，k的取值范圍為3～4 之間，取M= 7，然后求出z3.1～z3.9的表達式。以k= 3.4 為例，z3.4可以表示為z3.4=z5·z-1.6，由表1可得

則z3.4可以表示為：

根據所求出的z3.1～z3.9，采用分數階相位補償，補償效果如圖5 所示。從圖中可以看出當k=3.4 時，zk對S1(z)S2(z)P(z)相位補償效果最好。

圖5 分數階相位補償相頻特性曲線

4 實驗結果分析

為了驗證雙分數階重復控制在360～800 Hz變頻逆變器應用中的可行性和有效性，在MATLAB/Simulink中搭建了單相中頻逆變器的仿真模型。單相中頻逆變器模型相關參數如表2所示，實驗以360、600、800 Hz三個參考頻率為例。

表2 單相中頻逆變器參數

4.1 逆變器頻率為360 Hz

當逆變器帶整流性負載時，此時，N=111.1，傳統RC 和雙分數階RC 的誤差收斂如圖6 所示，傳統RC 下輸出電壓誤差15 V 明顯大于雙分數階RC 的10 V 誤差，顯然雙分數階RC控制系統的穩態性能更好。

圖6 輸出電壓誤差收斂

兩種控制系統下的穩態響應如圖7～8 所示。對比圖7（b）和圖8（b），傳統RC 和雙分數階RC 輸出電壓的THD 分別為2.09%和1.63%，電壓波形未出現明顯畸變，且雙分數階RC 輸出電壓的THD 更低，可見雙分數階RC控制系統的諧波抑制能力更強。

圖8 雙分數階RC下的穩態響應

4.2 逆變器頻率為600 Hz

逆變器帶整流性負載時，此時，N=66.7，傳統RC和雙分數階RC 的誤差收斂如圖9 所示，傳統RC 下輸出電壓誤差為30 V，而雙分數階RC 下的誤差小于20 V，顯然雙分數階RC系統的穩態性能更好。

圖9 輸出電壓誤差收斂

兩種控制系統下的穩態響應如圖10～11 所示。對比圖10（b）和圖11（b），傳統RC 和雙分數階RC 輸出電壓的THD 分別為3.34%和2.40%，電壓波形未出現明顯畸變，且雙分數階RC 輸出電壓的THD 更低，可見雙分數階RC控制系統的諧波抑制能力更強。

圖10 RC下的穩態響應

圖11 雙分數階RC下的穩態響應

4.3 逆變器頻率為800 Hz

當逆變器帶整流性負載時，此時，N=50，傳統RC和雙分數階RC 的誤差收斂如圖12所示，傳統RC 下輸出電壓誤差大于20 V，而雙分數階RC 下的誤差為15 V 左右，顯然雙分數階RC控制系統的穩態性能更好。

圖12 輸出電壓誤差收斂

兩種控制系統下的穩態響應如圖13～14 所示。對比圖13（b）和圖14（b），傳統RC 和雙分數階RC 輸出電壓的THD 分別為3.54%和2.82%，電壓波形未出現明顯畸變，且雙分數階RC 輸出電壓的THD 更低，可見雙分數階RC控制系統的諧波抑制能力更強。

圖13 RC下的穩態響應

圖14 雙分數階RC下的穩態響應

5 結束語

本文針對360～800 Hz 單相變頻逆變器系統調頻時，系統參考頻率變化使得采樣頻率與輸出頻率比值可能不為整數，從而導致變頻逆變器輸出穩態誤差較大，輸出電壓波形質量較差的問題。提出了一種雙分數階重復控制的控制策略，采用了分數延遲和分數相位超前，分別設計了分數延遲FIR 濾波器和分數相位超前FIR 濾波器，提高了系統的控制精度，給出了控制器的設計思路，以及參數計算方式。并通過仿真實驗驗證，在帶整流性負載時，與重復控制系統相比，雙分數階重復控制系統輸出穩態誤差更小，輸出電壓波形質量更好。